Questão 9

Seja $n$ o número de polinômios de grau $4$ que têm coeficientes inteiros, coeficiente do termo de maior grau igual a $1$ e cujas raízes também são raízes do polinômio $P(x) = x^{12}-1$. O resto da divisão de $n$ por $5$ é:

As raízes de $P(x) = x^{12}-1$ são as doze raízes da unidade de ordem $12$. Um polinômio mônico de coeficientes inteiros cujas raízes estão entre elas deve ser divisível pelo polinômio mínimo de cada uma dessas raízes sobre $\mathbb{Q}$. Ora, o polinômio mínimo de uma raiz primitiva de ordem $d$ é o polinômio ciclotômico $\Phi_d(x)$. Logo, o polinômio procurado é necessariamente um produto de polinômios ciclotômicos $\Phi_d$ com $d \mid 12$, podendo haver repetições, e com graus somando $4$.

Os ciclotômicos disponíveis: os divisores de $12$ são $1,2,3,4,6,12$, e o grau de $\Phi_d$ é $\varphi(d)$:
$$\begin{array}{llll} \Phi_1 = x-1 & (\text{grau }1), &\quad \Phi_2 = x+1 & (\text{grau }1),\\[2pt] \Phi_3 = x^2+x+1 & (\text{grau }2), &\quad \Phi_4 = x^2+1 & (\text{grau }2),\\[2pt] \Phi_6 = x^2-x+1 & (\text{grau }2), &\quad \Phi_{12} = x^4-x^2+1 & (\text{grau }4). \end{array}$$

Há, portanto, $2$ fatores de grau $1$, $3$ fatores de grau $2$ e $1$ fator de grau $4$. Contar os polinômios pedidos equivale a contar os multiconjuntos desses fatores com soma de graus igual a $4$.

Contando por casos:

Caso 1 — usa o fator de grau 4. O produto é só $\Phi_{12}$. São $\mathbf{1}$ polinômio.

Caso 2 — dois fatores de grau 2. Escolhemos um multiconjunto de tamanho $2$ entre $\{\Phi_3,\Phi_4,\Phi_6\}$ (repetição permitida):
$$CR_{3,2} = \binom{3+2-1}{2} = \binom{4}{2} = 6 .$$

Caso 3 — um fator de grau 2 e dois de grau 1. São $3$ escolhas para o fator de grau $2$ e, para os dois de grau $1$, um multiconjunto de tamanho $2$ entre $\{\Phi_1,\Phi_2\}$:
$$3\cdot CR_{2,2} = 3\cdot\binom{3}{2} = 3\cdot 3 = 9 .$$

Caso 4 — quatro fatores de grau 1. Multiconjunto de tamanho $4$ entre $\{\Phi_1,\Phi_2\}$:
$$CR_{2,4} = \binom{5}{4} = 5 .$$

Total:
$$n = 1 + 6 + 9 + 5 = 21 .$$

Resto da divisão:
$$21 = 5\cdot 4 + 1 \Rightarrow 21 \equiv 1 \pmod 5 .$$

Observação: se o enunciado exigisse raízes distintas (isto é, polinômios que dividem $x^{12}-1$), o total seria $1 + 3 + 3 = 7$, com resto $2$. A leitura literal do enunciado, porém, não proíbe raízes múltiplas — por exemplo, $(x-1)^4$ é mônico, tem coeficientes inteiros e sua única raiz, $x=1$, é raiz de $x^{12}-1$ —, de modo que a contagem correta é $n = 21$.