Questão 15

Em uma esfera de raio $R$ inscreve-se um prisma regular reto de base hexagonal. Sabendo-se que a área lateral desse prisma é máxima, o seu valor em função de $R$ é:

Um prisma está inscrito na esfera quando todos os seus vértices pertencem à superfície esférica. Isso amarra as duas dimensões livres do prisma — o lado $a$ da base hexagonal e a altura $h$ — em uma única relação, obtida pelo Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo centro da esfera, o centro de uma base e um vértice. Com essa amarra, maximizamos a área lateral pela Desigualdade das Médias, sem recorrer a derivadas.

Relacionando $a$, $h$ e $R$: em um hexágono regular de lado $a$, o raio do círculo circunscrito também vale $a$ — o hexágono se decompõe em seis triângulos equiláteros de lado $a$. Seja $G$ o centro da base inferior e $V$ um de seus vértices; o centro $E$ da esfera está sobre o eixo do prisma, a uma altura $\frac{h}{2}$ acima de $G$. No triângulo retângulo $EGV$:
$$R^2 = a^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 . \qquad \text{(Equação I)}$$

Escrevendo a área lateral: a superfície lateral é formada por $6$ retângulos de base $a$ e altura $h$:
$$S_\ell = 6\,a\,h . \qquad \text{(Equação II)}$$

Maximizando com a Desigualdade das Médias: reescrevemos a Equação II fazendo aparecer as mesmas grandezas da Equação I:
$$S_\ell = 6ah = 12\cdot a\cdot\frac{h}{2} .$$

Pela Desigualdade das Médias (média geométrica $\leq$ média aritmética) aplicada aos números positivos $a^2$ e $\left(\frac{h}{2}\right)^2$:
$$a\cdot\frac{h}{2} = \sqrt{a^2\cdot\left(\frac{h}{2}\right)^2} \leq \frac{a^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}{2} = \frac{R^2}{2} .$$

Portanto
$$S_\ell = 12\cdot a\cdot\frac{h}{2} \leq 12\cdot\frac{R^2}{2} = 6R^2 .$$

Condição de igualdade: a igualdade na Desigualdade das Médias ocorre quando os dois números são iguais, isto é,
$$a^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 \Rightarrow a = \frac{h}{2} .$$

Nesse caso, da Equação I, $2a^2 = R^2$, ou seja,
$$a = \frac{R\sqrt2}{2} \qquad\text{e}\qquad h = R\sqrt2 .$$

Esses valores são geometricamente admissíveis ($a>0$ e $h>0$), logo o máximo é de fato atingido.

Conferindo:
$$S_\ell = 6ah = 6\cdot\frac{R\sqrt2}{2}\cdot R\sqrt2 = 6\cdot\frac{2R^2}{2} = 6R^2 .$$