Questão 20

Seja o arranjo tridimensional de cascas esféricas da figura acima, totalmente em repouso e geometricamente simétrico, composto da seguinte forma:

Dados:

• na origem, dentro de uma cavidade de vácuo, encontra-se uma partícula de carga $-Q$;

• na região $a \le r < 2a$, há uma camada metálica condutora inicialmente descarregada;

• em $r=2a$, há uma casca muito fina de material não condutor uniformemente carregada com carga $+q$;

• na região $2a < r < 3a$, há outra cavidade de vácuo;

• na região $3a \le r < 4a$, há outra camada metálica condutora inicialmente descarregada;

• em $r=4a$, há outra casca muito fina de material não condutor uniformemente carregada com carga $+q$.

Após o estabelecimento do equilíbrio eletrostático nas camadas condutoras, a carga superficial total induzida em $r=3a$ é:

O princípio é a Lei de Gauss aplicada ao interior de um condutor em equilíbrio eletrostático. No equilíbrio, o campo elétrico é nulo em todos os pontos do material condutor; logo, qualquer superfície gaussiana inteiramente contida nesse material tem fluxo nulo e, portanto, carga líquida interna nula:
$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = 0 \Rightarrow Q_{\text{int}}=0$$

Escolhendo a gaussiana certa: a carga pedida está em $r=3a$, que é a superfície interna da segunda camada condutora (a que ocupa $3a \le r < 4a$). Tomamos então uma esfera gaussiana de raio $r$ com $3a < r < 4a$ — ou seja, dentro do metal dessa segunda camada.

Somando as cargas englobadas:

• a partícula central: $-Q$;

• a primeira camada condutora ($a\le r<2a$), que estava descarregada: sua carga total continua nula (ela apenas se redistribui, com $+Q$ na face interna e $-Q$ na externa);

• a casca isolante em $r=2a$: $+q$;

• a carga induzida procurada, na face interna do segundo condutor, em $r=3a$: $q_{3a}$.

A casca de $r=4a$ e a face externa do segundo condutor estão fora da gaussiana e não entram na conta. Impondo carga interna nula:
$$-Q + 0 + q + q_{3a} = 0 \Rightarrow q_{3a} = Q - q$$

Logo, a carga superficial total induzida em $r=3a$ é $+Q-q$.

Interpretando: a face interna do condutor precisa “blindar” tudo o que existe dentro dela. O conjunto interno tem carga líquida $-Q+q$; a face induzida assume exatamente o oposto, $+Q-q$. Note que o condutor como um todo permanece neutro, de modo que sua face externa ($r=4a^{-}$) carrega $-(Q-q) = -Q+q$.