Questão 24

Um soldado lança uma granada a uma velocidade inicial de $10\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$, por uma direção que perfaz um ângulo de $45^{\circ}$ com o solo. Antes de atingir o solo, a granada explode, dividindo-se em dois fragmentos de $2/3$ e $1/3$ de sua massa inicial. Após a explosão, o fragmento mais leve se projeta à direita e o mais pesado à esquerda, conforme a figura. Exatamente após $1{,}9\ \mathrm{s}$ do lançamento da granada, o fragmento mais pesado atinge um pequeno buraco de $5\ \mathrm{cm}$ de profundidade no solo.

Dado:

• aceleração da gravidade: $g=10\ \mathrm{m/s^{2}}$.

No instante em que o fragmento mais pesado atinge o solo, a distância vertical, em cm, do fragmento mais leve até o solo é:

O princípio que resolve a questão em poucas linhas é o do movimento do centro de massa: a explosão é produzida por forças internas, que não alteram a resultante externa sobre o sistema. Como a única força externa continua sendo o peso, o centro de massa dos dois fragmentos segue exatamente a mesma parábola que a granada descreveria se não tivesse explodido — até o instante em que um dos fragmentos toca o solo.

A parábola do centro de massa: com $v_0=10\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$ e $\theta=45^{\circ}$,
$$v_{0y} = v_0\,\sen 45^{\circ} = 10\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 10\ \mathrm{m/s}$$
Tomando a origem no ponto de lançamento, no nível do solo,
$$y_{cm}(t) = 10\,t - \frac{1}{2}\cdot 10\,t^{2} = 10t-5t^{2}$$

No instante $t=1{,}9\ \mathrm{s}$:
$$y_{cm}(1{,}9) = 10(1{,}9) - 5(1{,}9)^{2} = 19 - 5(3{,}61) = 19-18{,}05 = 0{,}95\ \mathrm{m}$$

Relacionando com as alturas dos fragmentos: sendo $M$ a massa da granada, o fragmento pesado tem $\dfrac{2}{3}M$ e o leve $\dfrac{1}{3}M$. Por definição de centro de massa,
$$y_{cm} = \frac{\frac{2}{3}M\,y_{p} + \frac{1}{3}M\,y_{\ell}}{M} = \frac{2}{3}\,y_{p} + \frac{1}{3}\,y_{\ell}$$

Isolando a altura do fragmento leve:
$$y_{\ell} = 3\,y_{cm} - 2\,y_{p} \quad \text{(Equação I)}$$

Aplicando no instante dado: o enunciado informa que, em $t=1{,}9\ \mathrm{s}$, o fragmento pesado chega ao fundo de um buraco de $5\ \mathrm{cm}$ de profundidade. Medindo as alturas a partir da superfície do solo,
$$y_p(1{,}9) = -0{,}05\ \mathrm{m}$$

Substituindo na Equação I:
$$y_{\ell} = 3(0{,}95) - 2(-0{,}05) = 2{,}85 + 0{,}10 = 2{,}95\ \mathrm{m}$$

Portanto, a distância vertical do fragmento mais leve até o solo é
$$y_{\ell} = 2{,}95\ \mathrm{m} = 295\ \mathrm{cm}$$

Conferindo a consistência física: sem explosão, a granada cairia em $t=2\ \mathrm{s}$ (pois $10t-5t^2=0$). O fragmento pesado, que recebeu impulso para trás e para baixo, chega antes, em $t=1{,}9\ \mathrm{s}$; em compensação, o leve — que é o mais rápido, por ter metade da massa do outro — ainda está bem alto, a quase $3\ \mathrm{m}$. Repare também que a profundidade do buraco, de apenas $5\ \mathrm{cm}$, é multiplicada por $2$ na Equação I e responde pela diferença entre $285\ \mathrm{cm}$ e os $295\ \mathrm{cm}$ da resposta: é justamente esse detalhe que separa o valor correto de uma alternativa “quase certa”.