Questão 21

A figura mostra duas polias acopladas por meio de uma plataforma. As juntas estão localizadas em pontos equivalentes das polias, de forma que a plataforma esteja sempre na horizontal. Um bloco de massa $m$ é colocado sobre a plataforma.

Dados:

• distância entre o centro de uma polia e sua junta de acoplamento: $R=\dfrac{3}{4}\sqrt{0{,}44}\ \mathrm{m}$;

• aceleração da gravidade: $g=10\ \mathrm{m/s^{2}}$;

• coeficiente de atrito estático entre o bloco e a plataforma: $\sqrt{0{,}44}$;

• o máximo de $a\cdot\cos(\theta)+b\cdot\sen(\theta)$ é $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.

O valor máximo da rotação $\omega$ das polias para que o bloco não deslize na direção horizontal sobre a plataforma, em rad/s, é:

Compreendendo o mecanismo: como as duas juntas estão em pontos equivalentes de polias iguais, a plataforma nunca gira — ela executa uma translação circular (também chamada de translação curvilínea). Isso significa que todos os pontos da plataforma, e portanto também o bloco, descrevem circunferências de mesmo raio $R$ com a mesma velocidade angular $\omega$, mantendo-se sempre paralelos a si mesmos.

Consequência decisiva: a aceleração do bloco é puramente centrípeta, de módulo constante
$$|\vec{a}| = \omega^{2}R$$
mas com direção girando uniformemente. Escrevendo $\theta=\omega t$ para a posição angular da junta,
$$a_x = -\,\omega^{2}R\cos\theta \qquad\qquad a_y = -\,\omega^{2}R\,\sen\theta$$

Segunda Lei de Newton no bloco: atuam o peso $m\vec{g}$, a normal $\vec{N}$ e o atrito estático $\vec{f}_{at}$ (horizontal).

Na vertical:
$$N - mg = m\,a_y = -\,m\,\omega^{2}R\,\sen\theta \Rightarrow N = m\left(g-\omega^{2}R\,\sen\theta\right)$$

Na horizontal:
$$f_{at} = m\,a_x \Rightarrow |f_{at}| = m\,\omega^{2}R\,|\cos\theta|$$

Condição de não deslizamento: $|f_{at}| \le \mu N$ em todo instante, isto é, para qualquer $\theta$:
$$m\,\omega^{2}R\,|\cos\theta| \le \mu\,m\left(g-\omega^{2}R\,\sen\theta\right)$$

Reorganizando, com $m$ cancelando:
$$\omega^{2}R\left(|\cos\theta| + \mu\,\sen\theta\right) \le \mu\,g$$

Pior caso: a desigualdade precisa valer para o maior valor possível do parêntese. Pela dica do enunciado, o máximo de $1\cdot\cos\theta+\mu\cdot\sen\theta$ é $\sqrt{1+\mu^{2}}$. Logo,
$$\omega^{2}R\,\sqrt{1+\mu^{2}} \le \mu\,g \Rightarrow \omega^{2} \le \frac{\mu\,g}{R\,\sqrt{1+\mu^{2}}}$$

Substituindo os dados: com $\mu=\sqrt{0{,}44}$, temos $\mu^{2}=0{,}44$ e $\sqrt{1+\mu^{2}}=\sqrt{1{,}44}=1{,}2$. Com $R=\dfrac{3}{4}\sqrt{0{,}44}$ e $g=10\ \mathrm{m/s^{2}}$:
$$\omega^{2} \le \frac{\sqrt{0{,}44}\cdot 10}{\dfrac{3}{4}\sqrt{0{,}44}\cdot 1{,}2} = \frac{10}{0{,}75\cdot 1{,}2} = \frac{10}{0{,}9} = \frac{100}{9}$$

Repare que $\sqrt{0{,}44}$ se cancela — era exatamente esse o papel dos números “feios”. Portanto,
$$\omega \le \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3}\ \mathrm{rad/s}$$

Conferindo a coerência: com $\omega^{2}=100/9$ e $R=0{,}75\sqrt{0{,}44}\approx 0{,}50\ \mathrm{m}$, tem-se $\omega^{2}R \approx 5{,}5\ \mathrm{m/s^{2}} < g = 10\ \mathrm{m/s^{2}}$. Logo $N>0$ sempre: o bloco nunca chega a se descolar da plataforma, e de fato a falha ocorreria por deslizamento horizontal, como supõe o enunciado.