Questão 16

A posição $(x,y)$ e a velocidade $(v_x,v_y)$ do movimento de uma partícula no plano respeita as equações a seguir, onde $t$ representa o instante de tempo:
$$x(t)=9\,v_y(t)$$
$$y(t)=-4\,v_x(t)$$
Admitindo todos os dados em unidades SI, pode-se concluir que a trajetória da partícula é uma curva fechada e que o tempo para percorrê-la uma vez é:

O princípio que organiza tudo aqui é a própria definição de velocidade: $v_x=\dfrac{dx}{dt}$ e $v_y=\dfrac{dy}{dt}$. As duas relações dadas acoplam posição de um eixo com velocidade do outro; derivando uma e substituindo na outra, chega-se a uma equação do tipo $\ddot{x}=-\omega^{2}x$, que é exatamente a equação do Movimento Harmônico Simples. É dela que sairá o período.

Escrevendo as relações:
$$x = 9\,\dot{y} \quad \text{(Equação I)} \qquad\qquad y = -4\,\dot{x}\quad \text{(Equação II)}$$

Da Equação I, isolando $\dot{y}$:
$$\dot{y} = \frac{x}{9}$$

Derivando a Equação II em relação ao tempo:
$$\dot{y} = -4\,\ddot{x}$$

Igualando as duas expressões de $\dot{y}$:
$$-4\,\ddot{x} = \frac{x}{9} \Rightarrow \ddot{x} = -\frac{x}{36}$$

Identificando o MHS: comparando com $\ddot{x}=-\omega^{2}x$, temos
$$\omega^{2}=\frac{1}{36} \Rightarrow \omega = \frac{1}{6}\ \mathrm{rad/s}$$

Logo, o período é
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1/6} = 12\pi\ \mathrm{s}$$

Verificando que a trajetória é fechada: tomando $x(t)=A\cos\!\left(\dfrac{t}{6}\right)$ (a fase inicial é irrelevante), vem
$$\dot{x} = -\frac{A}{6}\sen\!\left(\frac{t}{6}\right) \Rightarrow y = -4\dot{x} = \frac{2A}{3}\,\sen\!\left(\frac{t}{6}\right)$$

Conferindo na Equação I: $\dot{y}=\dfrac{2A}{3}\cdot\dfrac{1}{6}\cos\!\left(\dfrac{t}{6}\right) =\dfrac{A}{9}\cos\!\left(\dfrac{t}{6}\right)$, e de fato $9\dot{y}=A\cos\!\left(\dfrac{t}{6}\right)=x$. Eliminando o tempo:
$$\left(\frac{x}{A}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2A/3}\right)^{2}=1$$

que é uma elipse de semieixos $A$ e $\dfrac{2A}{3}$ — uma curva fechada, percorrida uma vez a cada período $T=12\pi\ \mathrm{s}$, como afirma o enunciado.