Questão 6

Sabe-se que $i^2 = -1$. Seja $S$ a região do Plano de Argand-Gauss definida por
$$S = \left\{ z \in \mathbb{C} \ /\ |z+1-i| + |z-3-4i| \leq 7 \right\}.$$
Qual a área do retângulo circunscrito à região $S$ que tem um dos lados paralelos à reta que passa pelos pontos $1-i$ e $-2+3i$?

A soma das distâncias de um ponto a dois pontos fixos, quando é constante, caracteriza uma elipse cujos focos são esses pontos fixos. Aqui a soma é limitada por $7$, de modo que $S$ é a região elíptica.

Identificando focos e eixos: escrevendo $z = x+yi$,
$$|z+1-i| = |z - (-1+i)| \quad\text{e}\quad |z-3-4i| = |z-(3+4i)| ,$$
ou seja, os focos são $F_1 = (-1,\,1)$ e $F_2 = (3,\,4)$, e a soma das distâncias vale no máximo $7$. Assim,
$$2a = 7 \Rightarrow a = \frac72 .$$

A distância focal é
$$2c = |F_1F_2| = \sqrt{\left(3-(-1)\right)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16+9} = 5 \Rightarrow c = \frac52 .$$

Como $a > c$, a elipse existe de fato. Pela relação fundamental,
$$b^2 = a^2 - c^2 = \frac{49}{4} - \frac{25}{4} = \frac{24}{4} = 6 \Rightarrow b = \sqrt6 .$$

Orientação do retângulo: a direção do eixo maior é a de $\overrightarrow{F_1F_2} = (4,\,3)$. A reta que passa por $1-i = (1,-1)$ e $-2+3i = (-2,3)$ tem vetor diretor
$$\vec{u} = (-2-1,\ 3-(-1)) = (-3,\,4) .$$

Como $(4,3)\cdot(-3,4) = -12 + 12 = 0$, essa reta é perpendicular ao eixo maior, isto é, paralela ao eixo menor. Logo o retângulo circunscrito pedido é justamente o retângulo cujos lados são paralelos aos eixos da elipse — o menor retângulo que a contém nessa orientação, com lados tangentes aos quatro vértices.

Calculando a área: os lados do retângulo medem $2a$ e $2b$, portanto
$$\mathcal{A} = 2a\cdot 2b = 7 \cdot 2\sqrt6 = 14\sqrt6 .$$