Questão 28

Um certo número de pequenas esferas de uma liga metálica é colocado no interior de três tubos verticais de PVC, conectados em série, inicialmente conforme o desenho da figura. As passagens de $A$ para $B$ e de $B$ para $C$ estão fechadas por membranas resistentes.

Num experimento, o conjunto sofre inversões, onde uma inversão é um giro de $180^{\circ}$. Nas primeiras $8$ inversões, as esferas percorrem apenas o tubo $A$. Em seguida, retira-se a membrana entre $A$ e $B$, e as esferas percorrem os tubos $A+B$ por mais $10$ inversões. Por fim, retira-se a membrana entre $B$ e $C$, e as esferas percorrem os tubos $A+B+C$ por mais $12$ inversões.

Dados:

• calor específico da liga metálica: $c = 150\ \mathrm{J/(kg\cdot{}^{\circ}C)}$;

• aceleração da gravidade: $g=10\ \mathrm{m/s^{2}}$.

Observações:

• durante uma inversão, considere que as bolinhas permaneçam na mesma posição relativa dentro do tubo e apenas caiam após o fim da inversão;

• despreze o volume das esferas e a espessura das membranas;

• para a transformação em calor, considere apenas a totalidade da energia proveniente das quedas das bolinhas.

Ao final das $30$ inversões, o aumento de temperatura das esferas, em ${}^{\circ}$C, é:

O princípio é a conservação da energia na forma do Equivalente Mecânico do Calor: a cada inversão, as esferas partem do topo do trecho disponível, caem até o fundo e chegam lá com energia cinética que se dissipa integralmente no choque, aquecendo a liga. Assim, toda a energia potencial gravitacional perdida vira calor:
$$Q = m\,g\,H_{\text{total}} \qquad\text{e}\qquad Q = m\,c\,\Delta T$$
onde $H_{\text{total}}$ é a soma de todas as alturas de queda. Repare desde já que a massa $m$ das esferas vai se cancelar — por isso o enunciado não a fornece.

Compreendendo o mecanismo da inversão: como as bolinhas ficam paradas em relação ao tubo durante o giro de $180^{\circ}$ e só caem depois, cada inversão faz o conjunto de esferas atravessar todo o comprimento disponível, de uma extremidade fechada à outra. A altura de queda em cada inversão é, portanto, igual ao comprimento total do trecho liberado.

Somando as quedas em cada etapa:

Etapa 1 — só o tubo $A$ ($0{,}50\ \mathrm{m}$), $8$ inversões:
$$H_1 = 8\cdot 0{,}50 = 4{,}0\ \mathrm{m}$$

Etapa 2 — tubos $A+B$ ($0{,}50+0{,}30 = 0{,}80\ \mathrm{m}$), $10$ inversões:
$$H_2 = 10\cdot 0{,}80 = 8{,}0\ \mathrm{m}$$

Etapa 3 — tubos $A+B+C$ ($0{,}50+0{,}30+0{,}70 = 1{,}50\ \mathrm{m}$), $12$ inversões:
$$H_3 = 12\cdot 1{,}50 = 18{,}0\ \mathrm{m}$$

Total ($8+10+12 = 30$ inversões, como pede o enunciado):
$$H_{\text{total}} = 4{,}0 + 8{,}0 + 18{,}0 = 30{,}0\ \mathrm{m}$$

Balanço energético: igualando a energia potencial dissipada ao calor absorvido,
$$m\,g\,H_{\text{total}} = m\,c\,\Delta T \Rightarrow \Delta T = \frac{g\,H_{\text{total}}}{c}$$

Substituindo os valores:
$$\Delta T = \frac{10\cdot 30{,}0}{150} = \frac{300}{150} = 2{,}0\ {}^{\circ}\mathrm{C}$$

Verificação dimensional: $\left[\dfrac{g H}{c}\right] = \dfrac{(\mathrm{m/s^{2}})(\mathrm{m})}{\mathrm{J/(kg\cdot{}^{\circ}C)}} = \dfrac{\mathrm{J/kg}}{\mathrm{J/(kg\cdot{}^{\circ}C)}} = {}^{\circ}\mathrm{C}$, como esperado.

Fisicamente, a queda de uma bolinha por $30\ \mathrm{m}$ acumulados aquece a liga em apenas $2\ {}^{\circ}$C — um lembrete de quão “cara” é a energia térmica frente à mecânica: é o mesmo experimento clássico de Joule com o tubo cheio de chumbo.