Questão 13

Considere a equação
$$\log_{\left(0{,}5\cos(4x)+0{,}5\right)}\left(0{,}5\cdot\sen(4x)\right) = 1 .$$
O número de valores de $x$, pertencentes ao intervalo $[0,\pi]$, que satisfazem essa equação é:

Em toda equação logarítmica, o primeiro passo obrigatório é escrever as condições de existência: o logaritmando deve ser positivo, e a base deve ser positiva e diferente de $1$. Só então usamos a definição $\log_b a = 1 \iff a = b$.

Condições de existência: com $u = 4x$,

• logaritmando: $0{,}5\,\sen u > 0 \Rightarrow \sen u > 0$;

• base positiva: $0{,}5\cos u + 0{,}5 > 0 \Rightarrow \cos u > -1$;

• base diferente de $1$: $0{,}5\cos u + 0{,}5 \neq 1 \Rightarrow \cos u \neq 1$.

Note que a condição $\sen u > 0$ já garante $\cos u \neq \pm 1$, de modo que as duas últimas restrições ficam automaticamente satisfeitas.

Aplicando a definição de logaritmo: $\log_b a = 1$ equivale a $a = b$, logo
$$0{,}5\,\sen u = 0{,}5\cos u + 0{,}5 \Rightarrow \sen u - \cos u = 1 .$$

Resolvendo a equação trigonométrica: usando a forma harmônica $\sen u - \cos u = \sqrt2\,\sen\!\left(u - \frac{\pi}{4}\right)$,
$$\sqrt2\,\sen\!\left(u-\frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow \sen\!\left(u-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2} .$$

Daí
$$u - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \qquad\text{ou}\qquad u - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$
ou seja,
$$u = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \qquad\text{ou}\qquad u = \pi + 2k\pi .$$

Filtrando pela condição de existência: a família $u = \pi + 2k\pi$ dá $\sen u = 0$, que viola $\sen u > 0$ — o logaritmando seria nulo. Essas soluções devem ser descartadas. Já a família $u = \frac{\pi}{2}+2k\pi$ dá $\sen u = 1 > 0$ e base $0{,}5\cos u + 0{,}5 = 0{,}5$, positiva e diferente de $1$: é válida.

Voltando à variável $x$: de $u = 4x$,
$$4x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z} .$$

Impondo $x \in [0,\pi]$:
$$k = 0:\ x = \frac{\pi}{8};\qquad k = 1:\ x = \frac{5\pi}{8};\qquad k = 2:\ x = \frac{9\pi}{8} > \pi \ (\text{fora}) .$$

Valores negativos de $k$ dão $x < 0$. Portanto há exatamente $\mathbf{2}$ soluções: $x = \frac{\pi}{8}$ e $x = \frac{5\pi}{8}$.

Verificação: em $x = \frac{\pi}{8}$, $u = \frac{\pi}{2}$, e a equação fica $\log_{0{,}5}(0{,}5) = 1$, verdadeira.