Questão 22

Na ilustração acima, três forças são aplicadas a uma viga horizontal estável de peso desprezível. Supondo $F_B$ e $F_A$ como sendo as reações nos apoios $B$ e $A$, respectivamente, o equilíbrio da viga resulta que a razão entre os módulos de $F_B$ e $F_A$ é aproximadamente:

O princípio é o equilíbrio de um corpo rígido: a resultante das forças externas e o momento resultante em relação a qualquer polo devem ser nulos,
$$\sum \vec{F} = \vec{0} \qquad\qquad \sum \vec{M}_{O} = \vec{0}$$

Compreendendo a geometria: adotando a origem em $A$ e medindo as distâncias ao longo da viga com os valores da figura:

• apoio $A$: $x=0$;

• carga de $75\ \mathrm{kN}$: $x=0{,}9\ \mathrm{m}$;

• apoio $B$: $x = 0{,}9+1{,}8 = 2{,}7\ \mathrm{m}$;

• primeira carga de $30\ \mathrm{kN}$: $x = 2{,}7+0{,}6 = 3{,}3\ \mathrm{m}$;

• segunda carga de $30\ \mathrm{kN}$: $x = 3{,}3+0{,}6 = 3{,}9\ \mathrm{m}$.

Note que as duas cargas de $30\ \mathrm{kN}$ ficam além do apoio $B$, em balanço — é isso que torna $F_B$ tão maior que $F_A$.

Momento resultante nulo em relação a $A$: escolhemos o polo em $A$ justamente para eliminar $F_A$ da equação. Tomando como positivo o sentido anti-horário, a reação $F_B$ (para cima) e as cargas (para baixo) dão
$$F_B\cdot 2{,}7 = 75\cdot 0{,}9 + 30\cdot 3{,}3 + 30\cdot 3{,}9$$
$$F_B\cdot 2{,}7 = 67{,}5 + 99 + 117 = 283{,}5$$
$$F_B = \frac{283{,}5}{2{,}7} = 105\ \mathrm{kN}$$

Resultante de forças nula na vertical:
$$F_A + F_B = 75+30+30 = 135\ \mathrm{kN} \Rightarrow F_A = 135-105 = 30\ \mathrm{kN}$$

Calculando a razão pedida:
$$\frac{F_B}{F_A} = \frac{105}{30} = 3{,}50$$

O resultado é coerente com a geometria: como quase toda a carga está sobre ou à direita de $B$, o apoio $B$ recebe a maior parte do carregamento. Uma conferência independente: tomando momentos em relação a $B$, $F_A\cdot 2{,}7 = 75\cdot 1{,}8 - 30\cdot 0{,}6 - 30\cdot 1{,}2 = 135-18-36=81$, o que dá $F_A = 30\ \mathrm{kN}$, confirmando o valor obtido.