Questão 5

Sabe-se que $i^2 = -1$. Seja $z = \dfrac{1-2i}{4-3i}$ e, para cada número natural $n$, $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (\bar{z})^k$, em que $\bar{z}$ representa o conjugado de $z$. O menor valor de $n$ para o qual vale a desigualdade
$$\left| S_n - \frac{\bar{z} - |z|^2}{|1-z|^2}\right| < \frac{1}{2027}$$
é:

A soma $S_n$ é a soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo $\bar{z}$ e razão $\bar{z}$.

Determinando $z$: multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador,
$$z = \frac{1-2i}{4-3i}\cdot\frac{4+3i}{4+3i} = \frac{4+3i-8i-6i^2}{16+9} = \frac{4-5i+6}{25} = \frac{10-5i}{25} = \frac{2-i}{5} .$$

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$$\bar{z} = \frac{2+i}{5},\qquad |z|^2 = \frac{2^2+1^2}{25} = \frac{5}{25} = \frac15,\qquad |z| = \frac{1}{\sqrt5} .$$

Simplificando o termo subtraído: como $|z|^2 = z\bar z$ e $|1-z|^2 = (1-z)\overline{(1-z)} = (1-z)(1-\bar z)$,
$$\frac{\bar z - |z|^2}{|1-z|^2} = \frac{\bar z - z\bar z}{(1-z)(1-\bar z)} = \frac{\bar z\,(1-z)}{(1-z)(1-\bar z)} = \frac{\bar z}{1-\bar z} .$$

Como $|\bar z| = \frac{1}{\sqrt5} < 1$, esse é justamente o limite da PG infinita de razão $\bar z$.

Soma dos $n$ primeiros termos:
$$S_n = \bar z\,\frac{1-\bar z^{\,n}}{1-\bar z} = \frac{\bar z}{1-\bar z} - \frac{\bar z^{\,n+1}}{1-\bar z} .$$

Subtraindo o termo já simplificado, sobra apenas a “cauda” da série:
$$S_n - \frac{\bar z}{1-\bar z} = -\,\frac{\bar z^{\,n+1}}{1-\bar z} \Rightarrow \left| S_n - \frac{\bar z - |z|^2}{|1-z|^2}\right| = \frac{|z|^{\,n+1}}{|1-\bar z|} .$$

Calculando os módulos:
$$1-\bar z = 1 - \frac{2+i}{5} = \frac{3-i}{5} \Rightarrow |1-\bar z| = \frac{\sqrt{3^2+1^2}}{5} = \frac{\sqrt{10}}{5} .$$

Portanto a desigualdade pedida é
$$\frac{\left(\frac{1}{\sqrt5}\right)^{n+1}}{\frac{\sqrt{10}}{5}} < \frac{1}{2027} \Rightarrow \frac{5}{\sqrt{10}}\cdot 5^{-\frac{n+1}{2}} < \frac{1}{2027} \Rightarrow 5^{\frac{n+1}{2}} > \frac{5\cdot 2027}{\sqrt{10}} = \frac{10135}{\sqrt{10}} .$$

Numericamente, $\dfrac{10135}{\sqrt{10}} \approx \dfrac{10135}{3{,}1623} \approx 3205{,}5$.

Testando os valores:
$$n = 9:\quad 5^{\frac{10}{2}} = 5^{5} = 3125 < 3205{,}5 \quad (\text{não satisfaz});$$
$$n = 10:\quad 5^{\frac{11}{2}} = 5^{5}\sqrt5 = 3125\cdot 2{,}236 \approx 6987 > 3205{,}5 \quad (\text{satisfaz}).$$

Como o primeiro membro $\dfrac{|z|^{n+1}}{|1-\bar z|}$ é estritamente decrescente em $n$, o menor natural que atende à desigualdade é $n = 10$.