Questão 8

Seja a equação $9^x - 4\cdot 5^{x-\frac12} = 5^{x+\frac12} - 2\cdot 3^{2x-1}$. O seu conjunto solução contém:

Reescrevendo as potências:
$$9^x = 3^{2x},\qquad 2\cdot 3^{2x-1} = \frac{2}{3}\cdot 3^{2x},\qquad 4\cdot 5^{x-\frac12} = \frac{4}{\sqrt5}\cdot 5^{x},\qquad 5^{x+\frac12} = \sqrt5\cdot 5^{x} .$$

Agrupando por base: levando os termos de base $3$ para a esquerda e os de base $5$ para a direita,
$$3^{2x} + \frac{2}{3}\cdot 3^{2x} = \sqrt5\cdot 5^{x} + \frac{4}{\sqrt5}\cdot 5^{x} .$$

Colocando $3^{2x}$ e $5^x$ em evidência:
$$3^{2x}\left(1+\frac23\right) = 5^{x}\left(\sqrt5 + \frac{4}{\sqrt5}\right) \Rightarrow \frac53\cdot 3^{2x} = 5^{x}\cdot\frac{5+4}{\sqrt5} \Rightarrow \frac53\cdot 3^{2x} = \frac{9}{\sqrt5}\cdot 5^{x} .$$

Isolando as potências:
$$\frac{3^{2x}}{5^{x}} = \frac{9}{\sqrt5}\cdot\frac{3}{5} = \frac{27}{5\sqrt5} = \frac{3^3}{5^{3/2}} .$$

Comparando expoentes: escrevendo o primeiro membro com a mesma estrutura,
$$\frac{3^{2x}}{5^{x}} = \frac{3^{3}}{5^{3/2}} .$$