Questão 1

Sejam $n$ e $m$ números naturais. Sabe-se que $n$ vale $5621$ na base numérica $m$ e $1208$ na base numérica $m+5$. O valor de $n$ é:

Escrever um número “na base $b$” significa desenvolvê-lo em potências de $b$, com os algarismos como coeficientes. Assim, a representação $5621$ na base $m$ e a representação $1208$ na base $m+5$ dão duas expressões para o mesmo natural $n$, e igualá-las produz uma equação polinomial em $m$.

Montando a equação: desenvolvendo as duas representações,
$$n = 5m^3 + 6m^2 + 2m + 1 \qquad\text{e}\qquad n = 1\cdot(m+5)^3 + 2\cdot(m+5)^2 + 0\cdot(m+5) + 8 .$$

Igualando as duas expressões de $n$:
$$5m^3 + 6m^2 + 2m + 1 = m^3 + 17m^2 + 95m + 183 \Rightarrow 4m^3 - 11m^2 - 93m - 182 = 0 .$$

Resolvendo a cúbica: como $m$ é natural e $m \geq 7$, testamos $m = 7$:
$$4\cdot 343 - 11\cdot 49 - 93\cdot 7 - 182 = 1372 - 539 - 651 - 182 = 0 .$$

Logo $m = 7$ é raiz. Fatorando por Briot-Ruffini:
$$4m^3 - 11m^2 - 93m - 182 = (m-7)\left(4m^2 + 17m + 26\right) .$$

O fator quadrático tem discriminante $\Delta = 17^2 - 4\cdot 4\cdot 26 = 289 - 416 = -127 < 0$, portanto não possui raiz real. Assim, $m = 7$ é a única solução admissível.

Calculando $n$:
$$n = 5\cdot 7^3 + 6\cdot 7^2 + 2\cdot 7 + 1 = 1715 + 294 + 14 + 1 = 2024 .$$