Questão 12

Considere a equação
$$|\sen(x) - \cos(x)| + \sqrt{2 + \tg^2(x) + \cotg^2(x)} = \sqrt3,$$
com $x \in (0,6\pi)$ e $x \notin \left\{\dfrac{m\pi}{2}\ /\ m \in \mathbb{Z}\right\}$. O número de soluções dessa equação é:

Antes de sair procurando soluções, vale estimar o valor mínimo do primeiro membro. Se esse mínimo já for maior que $\sqrt3$, a equação é impossível — e a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dos dois termos do radicando resolve tudo em uma linha.

A desigualdade das médias no radicando: $\tg^2 x$ e $\cotg^2 x$ são números positivos (a restrição $x \neq \frac{m\pi}{2}$ garante que ambos existem e não se anulam), e seu produto é
$$\tg^2 x \cdot \cotg^2 x = \left(\tg x \cdot \cotg x\right)^2 = 1 .$$

Pela desigualdade entre as médias aritmética e geométrica,
$$\frac{\tg^2 x + \cotg^2 x}{2} \geq \sqrt{\tg^2 x \cdot \cotg^2 x} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \tg^2 x + \cotg^2 x \geq 2 .$$

Consequência para a raiz: somando $2$ aos dois lados, o radicando satisfaz
$$2 + \tg^2 x + \cotg^2 x \geq 4 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{2 + \tg^2 x + \cotg^2 x} \geq 2 .$$

Fechando a estimativa: o outro termo do primeiro membro é um módulo, portanto sempre não negativo:
$$|\sen x - \cos x| \geq 0 .$$

Somando as duas informações, para todo $x$ admissível
$$|\sen x - \cos x| + \sqrt{2 + \tg^2 x + \cotg^2 x} \geq 0 + 2 = 2 .$$

Conclusão: o primeiro membro nunca é menor que $2$, ao passo que $\sqrt3 \approx 1{,}73 < 2$. Logo o primeiro membro jamais iguala $\sqrt3$, e a equação não possui solução alguma — nem em $(0,6\pi)$, nem em qualquer outro intervalo. O número de soluções é $0$.