Questão 14

Seja $C_1$ o círculo inscrito em um quadrado $ABCD$ de lado $2$, e seja $O$ o centro de $C_1$. Considere uma reta $L$ passando pelo vértice $A$ do quadrado. Um círculo variável, de centro $M$, tangencia externamente o círculo $C_1$ e também é tangente à reta $L$, de forma que $M$ e $O$ estejam no mesmo semiplano definido pela reta $L$. O lugar geométrico do ponto $M$ é:

Vamos traduzir as duas condições geométricas em equações de distância e, em seguida, reconhecer a definição de uma cônica. A ideia clássica nesse tipo de problema é “empurrar” a reta tangente de uma distância igual ao raio do círculo fixo, transformando a tangência em equidistância.

Traduzindo as condições: seja $r > 0$ o raio do círculo variável. Como $C_1$ tem raio $1$ (o círculo inscrito em um quadrado de lado $2$ tem raio igual à metade do lado) e a tangência com $C_1$ é externa,
$$|MO| = 1 + r . \qquad \text{(Equação I)}$$

Como o círculo de centro $M$ tangencia a reta $L$,
$$d(M,L) = r . \qquad \text{(Equação II)}$$

Eliminando $r$: substituindo a Equação II na Equação I,
$$|MO| = d(M,L) + 1 .$$

A construção da diretriz: seja $L'$ a reta paralela a $L$, a uma distância $1$ de $L$, traçada no semiplano oposto ao que contém $O$ (e, por hipótese, $M$). Como $M$ está do lado de $O$, a distância de $M$ a $L'$ é
$$d(M,L') = d(M,L) + 1 .$$

Comparando com a relação anterior:
$$\boxed{\ |MO| = d(M,L')\ }$$

Reconhecendo a cônica: o ponto $M$ é equidistante do ponto fixo $O$ e da reta fixa $L'$. Essa é exatamente a definição de parábola, de foco $O$ e diretriz $L'$. (Note que $O \notin L'$: $O$ e $L'$ estão em semiplanos opostos em relação a $L$, portanto a parábola é genuína, não degenerada.)

O traço grosso é o lugar geométrico de $M$: os arcos da parábola de foco $O$ e diretriz $L'$ que ficam no semiplano de $O$ (a restrição do enunciado), pois é preciso ter $d(M,L) = r > 0$.

Descartando as demais alternativas: a condição envolve a distância de $M$ a uma reta e a um ponto, e não a dois pontos — o que exclui elipse (soma de distâncias a dois focos) e hipérbole (diferença). O lugar tampouco é uma circunferência, pois $|MO| = 1+r$ varia com $r$, nem duas retas paralelas a $L$, pois $|MO|$ não é constante ao longo de tais retas.