Questão 3

O polinômio $P(x)$, de grau $3$ e coeficientes reais, satisfaz a identidade $P(x) - P(x-1) = x^2$ para todo $x \in \mathbb{R}$, e, além disso, $P(0) = 5$. O valor de $P(10)$ é:

A identidade $P(x) - P(x-1) = x^2$ é uma relação de recorrência disfarçada: ela informa exatamente quanto o polinômio cresce quando o argumento avança uma unidade. Somando essas variações de $x=1$ até $x=10$, os termos intermediários se cancelam — é uma soma telescópica — e sobra apenas $P(10)-P(0)$.

Aplicando a identidade nos inteiros de $1$ a $10$:
$$\begin{aligned} P(1) - P(0) &= 1^2\\ P(2) - P(1) &= 2^2\\ &\ \,\vdots\\ P(10) - P(9) &= 10^2 \end{aligned}$$

Somando membro a membro, todos os termos $P(1), P(2), \dots, P(9)$ se cancelam:
$$P(10) - P(0) = \sum_{k=1}^{10} k^2 .$$

Somando os quadrados: pela fórmula da soma dos quadrados dos $n$ primeiros naturais,
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \Rightarrow \sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10\cdot 11\cdot 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385 .$$

Substituindo $P(0) = 5$:
$$P(10) = 5 + 385 = 390 .$$

Consistência com o grau $3$: de fato existe tal polinômio, e ele é único. Como $\displaystyle\sum_{k=1}^{x} k^2 = \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$ é um polinômio de grau $3$ em $x$, basta tomar
$$P(x) = \frac{x(x+1)(2x+1)}{6} + 5 = \frac{2x^3 + 3x^2 + x}{6} + 5 ,$$
que satisfaz $P(0)=5$ e, por ser uma identidade entre polinômios válida em infinitos pontos, cumpre $P(x)-P(x-1)=x^2$ para todo real $x$.