Questão 27

Considere o projétil mostrado na Figura 1 que consiste de uma pilha e um ímã em cada uma das extremidades, cada um deles fazendo contato com o solenoide. O atirador coloca o projétil completamente no interior do solenoide, começando da extremidade direita e, a partir desse momento, o projétil sai do repouso e acelera para a outra extremidade, conforme mostrado na Figura 2.

Dados:

• resistência por espira do solenoide: $0{,}04\ \Omega$;

• os pontos de contato dos ímãs com o solenoide sempre distam $10$ espiras;

• campo magnético produzido pelos ímãs: $1{,}5\ \mathrm{T}$;

• ddp da pilha: $6\ \mathrm{V}$;

• massa do projétil: $10\ \mathrm{g}$;

• comprimento do projétil: $50\ \mathrm{mm}$;

• comprimento do solenoide: $300\ \mathrm{mm}$;

• permeabilidade magnética do meio: $2\cdot 10^{-6}\ \mathrm{T\cdot m/A}$.

Observação:

• experimentalmente estima-se que a força à qual o projétil é submetido, em Newtons, é numericamente igual a $45$ vezes o produto entre o campo magnético produzido pela circulação da corrente no interior do solenoide e o campo magnético produzido pelo ímã (ambos em Tesla).

Dado o contexto, o projétil começa a deixar o solenoide à velocidade, em m/s, de:

O problema encadeia três etapas independentes: um circuito (para achar a corrente), um solenoide (para achar o campo que essa corrente cria) e uma dinâmica de força constante (para achar a velocidade final). Vamos uma a uma.

1. A corrente no circuito — Primeira Lei de Ohm. A pilha, através dos dois ímãs, faz contato com dois pontos do solenoide separados por $10$ espiras. Como o solenoide é um fio aberto, as duas “pontas” que sobram não fecham circuito e não conduzem: a corrente circula apenas pelo trecho de $10$ espiras compreendido entre os contatos. Logo,
$$R = 10\cdot 0{,}04 = 0{,}4\ \Omega \Rightarrow \mathrm{I} = \frac{U}{R} = \frac{6}{0{,}4} = 15\ \mathrm{A}$$

2. O campo criado pela corrente — solenoide ideal. O campo no interior de um solenoide percorrido por corrente $\mathrm{I}$ é
$$B_{\text{sol}} = \mu\,n\,\mathrm{I}$$
onde $n$ é o número de espiras por unidade de comprimento. As $10$ espiras que conduzem ocupam exatamente o comprimento do projétil, $\ell = 50\ \mathrm{mm}=0{,}050\ \mathrm{m}$:
$$n = \frac{10}{0{,}050} = 200\ \mathrm{espiras/m}$$
$$B_{\text{sol}} = 2\cdot 10^{-6}\cdot 200\cdot 15 = 6\cdot 10^{-3}\ \mathrm{T}$$

3. A força e a aceleração — Segunda Lei de Newton. Pela observação do enunciado,
$$F = 45\,B_{\text{sol}}\,B_{\text{ímã}} = 45\cdot 6\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}5 = 0{,}405\ \mathrm{N}$$
Com $m = 10\ \mathrm{g} = 0{,}010\ \mathrm{kg}$,
$$a = \frac{F}{m} = \frac{0{,}405}{0{,}010} = 40{,}5\ \mathrm{m/s^{2}}$$

4. O deslocamento disponível. O projétil parte completamente dentro do solenoide, encostado na extremidade direita, e “começa a deixar o solenoide” quando sua ponta dianteira alcança a extremidade esquerda. Nesse intervalo, o projétil percorre
$$d = L_{\text{sol}} - \ell = 300 - 50 = 250\ \mathrm{mm} = 0{,}25\ \mathrm{m}$$

5. Equação de Torricelli. Partindo do repouso com aceleração constante,
$$v^{2} = v_0^{2}+2ad = 0 + 2\cdot 40{,}5\cdot 0{,}25 = 20{,}25$$
$$v = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\ \mathrm{m/s}$$

A ordem de grandeza é coerente com um “canhão de Gauss” caseiro: alguns metros por segundo. Note que a hipótese de força constante é razoável porque, à medida que o projétil avança, ele sempre curto-circuita as mesmas $10$ espiras, mantendo corrente e campo inalterados.