Questão 18

Conforme mostra a figura, duas roldanas em forma de anel, inicialmente em repouso, estão engrenadas e, ao iniciarem seus movimentos, cada fio é enrolado ou desenrolado à mesma velocidade escalar dos pontos do perímetro de sua respectiva roldana. Nas extremidades dos fios, existem partículas carregadas penduradas na vertical, ambas sujeitas a um campo elétrico gerado por um plano horizontal infinito uniformemente carregado, com um pequeno furo o suficiente para um dos fios passar.

Dados:

• massas das roldanas: $m$ e $2m$;

• o raio de uma roldana é o dobro do raio da outra;

• módulo do campo elétrico vertical: $E$;

• cargas das partículas eletrizadas: $-Q$ e $+3Q$.

Observações:

• as massas das partículas são desprezíveis;

• as massas das roldanas estão uniformemente distribuídas;

• as roldanas estão sustentadas por hastes presas ao teto nos respectivos centros;

• as roldanas giram sempre em torno de seus centros e sem atrito;

• o segmento que liga os dois centros das roldanas é paralelo ao plano carregado.

Ao ser iniciado o movimento das roldanas, pelo princípio da conservação da energia, a aceleração do fio que sustenta a carga positiva é:

O enunciado já indica o caminho: conservação da energia. O trabalho realizado pelas forças elétricas sobre as duas partículas se converte integralmente em energia cinética de rotação das duas roldanas (as partículas têm massa desprezível e as roldanas não transladam, de modo que a gravidade não realiza trabalho). Antes disso, porém, é preciso resolver dois pontos: o vínculo cinemático entre as roldanas e o sentido das duas forças elétricas.

Vínculo cinemático (engrenamento): roldanas engrenadas têm, no ponto de contato, a mesma velocidade escalar de borda. Chamando de $v_b$ essa velocidade comum,
$$v_b = \omega_1\,r = \omega_2\,(2r) \Rightarrow \omega_1 = 2\,\omega_2$$
Como cada fio é enrolado/desenrolado com a velocidade escalar dos pontos do perímetro de sua própria roldana, as duas partículas têm exatamente a mesma velocidade escalar:
$$v_1 = \omega_1 r = v_b \qquad\text{e}\qquad v_2 = \omega_2\,(2r) = v_b$$
Portanto $v_1=v_2=v$ e, derivando, $a_1=a_2=a$.

Além disso, o engrenamento faz as roldanas girarem em sentidos opostos. Como o fio da roldana pequena sai pela esquerda e o da roldana grande sai pela direita (veja a figura), as duas partículas descem (ou sobem) juntas, no mesmo sentido.

Sentido das forças elétricas: o campo de um plano infinito uniformemente carregado tem módulo constante $E$ dos dois lados, mas sentidos opostos em relação ao plano. A carga $-Q$ está acima do plano e a carga $+3Q$ está abaixo dele (é para isso que serve o furo). Supondo o plano positivo, o campo aponta para cima acima dele e para baixo abaixo dele:
$$\vec{F}_1 = (-Q)\,\vec{E}_{\text{cima}} \Rightarrow \text{força de módulo } QE \text{ para baixo}$$
$$\vec{F}_2 = (+3Q)\,\vec{E}_{\text{baixo}} \Rightarrow \text{força de módulo } 3QE \text{ para baixo}$$
As duas inversões (lado do plano e sinal da carga) se cancelam: as duas forças apontam para o mesmo lado. Como o vínculo também move as duas partículas para o mesmo lado, os dois trabalhos são positivos e somam-se. (Se o plano fosse negativo, tudo se inverteria e o resultado em módulo seria o mesmo.)

Balanço de energia: após um deslocamento $d$ de cada fio,
$$W_{\text{total}} = QE\,d + 3QE\,d = 4QE\,d$$

As roldanas são anéis (massa na periferia), logo $I=MR^{2}$:
$$I_1 = m\,r^{2} \qquad\qquad I_2 = 2m\,(2r)^{2} = 8\,m\,r^{2}$$

A energia cinética total, escrita em função da velocidade comum $v$ dos fios ($\omega_1=v/r$ e $\omega_2=v/2r$), vale
$$E_c = \frac{1}{2}I_1\omega_1^{2}+\frac{1}{2}I_2\omega_2^{2} = \frac{1}{2}m r^{2}\frac{v^{2}}{r^{2}} + \frac{1}{2}\,8m r^{2}\,\frac{v^{2}}{4r^{2}} = \frac{1}{2}mv^{2} + m v^{2} = \frac{3}{2}\,m\,v^{2}$$

Aplicando o Teorema da Energia Cinética:
$$4QE\,d = \frac{3}{2}\,m\,v^{2} \Rightarrow v^{2} = \frac{8\,QE\,d}{3m}$$

Obtendo a aceleração: as forças são constantes, logo o movimento dos fios é uniformemente acelerado e vale a Equação de Torricelli $v^{2}=2ad$ (parte-se do repouso). Assim,
$$2ad = \frac{8QEd}{3m} \Rightarrow \boxed{\;a = \frac{4}{3}\,\frac{EQ}{m}\;}$$

Dimensionalmente, $[EQ]=\mathrm{N}$ e $[m]=\mathrm{kg}$, de modo que $EQ/m$ tem unidade de $\mathrm{m/s^{2}}$, como deve ser. Note ainda que a resposta não depende de $r$: o engrenamento iguala as velocidades dos dois fios, e o raio some do balanço energético.