Questão 4

Sejam $m \in \mathbb{Z}$ e
$$\begin{vmatrix} x^m & x^{m+2} & x^{m+4}\\ y^m & y^{m+2} & y^{m+4}\\ z^m & z^{m+2} & z^{m+4} \end{vmatrix} = \left(\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2}\right) \left(\frac{1}{z^2}-\frac{1}{y^2}\right) \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{z^2}\right),$$
para quaisquer $x$, $y$ e $z \in \mathbb{R}^*$. O valor de $m$ é:

Cada linha do determinante tem um fator comum: na primeira linha, $x^m$; na segunda, $y^m$; na terceira, $z^m$. Colocando esses fatores em evidência, o que sobra é um determinante de Vandermonde nas variáveis $x^2$, $y^2$ e $z^2$. Comparando o resultado com o segundo membro, a potência $(xyz)^m$ fica isolada e determina $m$.

Fatorando as linhas: pela propriedade de que multiplicar uma linha por uma constante multiplica o determinante por essa constante,
$$\begin{vmatrix} x^m & x^{m+2} & x^{m+4}\\ y^m & y^{m+2} & y^{m+4}\\ z^m & z^{m+2} & z^{m+4} \end{vmatrix} = (xyz)^m \begin{vmatrix} 1 & x^{2} & x^{4}\\ 1 & y^{2} & y^{4}\\ 1 & z^{2} & z^{4} \end{vmatrix}.$$

Aplicando Vandermonde: com $a = x^2$, $b = y^2$ e $c = z^2$,
$$\begin{vmatrix} 1 & a & a^{2}\\ 1 & b & b^{2}\\ 1 & c & c^{2} \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b) .$$

Logo, o primeiro membro vale
$$(xyz)^m\,\left(y^2-x^2\right)\left(z^2-x^2\right)\left(z^2-y^2\right) . \qquad \text{(Equação I)}$$

Reduzindo o segundo membro: colocando cada diferença de inversos sobre denominador comum,
$$\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2} = \frac{x^2-y^2}{x^2y^2},\qquad \frac{1}{z^2}-\frac{1}{y^2} = \frac{y^2-z^2}{y^2z^2},\qquad \frac{1}{x^2}-\frac{1}{z^2} = \frac{z^2-x^2}{x^2z^2}.$$

Multiplicando as três:
$$\text{segundo membro} = \frac{\left(x^2-y^2\right)\left(y^2-z^2\right)\left(z^2-x^2\right)}{x^4y^4z^4} .$$

Trocando o sinal dos dois primeiros fatores do numerador (dois sinais trocados se cancelam),
$$\left(x^2-y^2\right)\left(y^2-z^2\right)\left(z^2-x^2\right) = \left(y^2-x^2\right)\left(z^2-y^2\right)\left(z^2-x^2\right),$$
de modo que
$$\text{segundo membro} = (xyz)^{-4}\,\left(y^2-x^2\right)\left(z^2-x^2\right)\left(z^2-y^2\right) . \qquad \text{(Equação II)}$$

Comparando: as Equações I e II têm o mesmo produto de diferenças. Como a igualdade vale para quaisquer $x,y,z \in \mathbb{R}^*$, podemos escolher $x,y,z$ dois a dois distintos, de modo que esse produto seja não nulo e possa ser cancelado:
$$(xyz)^m = (xyz)^{-4} \quad \text{para todo } x,y,z \in \mathbb{R}^* \Rightarrow m = -4 .$$