Questão 19

A figura mostra a transformação de Lorentz para diversas velocidades ($0{,}3\,c$ a $0{,}9\,c$) de um referencial em movimento em relação a um referencial inercial. Essa transformação é usada para calcular a velocidade relativa (eixo vertical) de um outro objeto se movimentando no mesmo sentido do referencial que está em alta velocidade ($0{,}3\,c$ a $0{,}9\,c$). O eixo horizontal exibe uma escala de velocidade em relação ao referencial inercial e o eixo vertical informa a velocidade relativa entre objeto e o referencial em movimento.

Uma nave $X$ e uma nave $Y$ viajam, nos mesmos sentido e direção. A nave $X$ se aproxima de uma fonte de luz parada em relação a um referencial inercial, enquanto que a nave $Y$ se afasta da fonte. Ambas as naves portanto percebem comprimentos de onda diferentes daquele emitido pela fonte.

Dados:

• comprimento de onda emitido pela fonte parada no referencial inercial: $\lambda$;

• comprimento de onda percebido pela nave $X$: $\lambda/2$;

• comprimento de onda percebido pela nave $Y$: $3\lambda$;

• velocidade da luz: $c$.

Observação:

• a fonte e as naves estão sempre colineares.

Com as informações descritas, conclui-se que o módulo da velocidade relativa entre as naves é de aproximadamente:

São dois princípios encadeados. Primeiro, o efeito Doppler relativístico, que fornece a velocidade de cada nave em relação ao referencial inercial da fonte a partir do comprimento de onda que ela mede. Depois, a transformação de Lorentz para velocidades (a adição relativística), que combina essas duas velocidades para dar a velocidade de uma nave medida pela outra — é exatamente o que o gráfico do enunciado tabula.

Efeito Doppler relativístico: para uma fonte e um observador que se afastam com velocidade relativa $v=\beta c$,
$$\lambda_{\text{obs}} = \lambda\,\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}$$
e, para aproximação, troca-se o sinal de $\beta$.

Nave $X$ (aproxima-se, luz para o azul): ela mede $\lambda/2$, ou seja, $\lambda_{\text{obs}}/\lambda = 1/2$:
$$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1-\beta_X}{1+\beta_X}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{1-\beta_X}{1+\beta_X} \Rightarrow 1+\beta_X = 4-4\beta_X \Rightarrow 5\beta_X = 3 \Rightarrow \beta_X = 0{,}6$$
Logo $v_X = 0{,}6\,c$.

Nave $Y$ (afasta-se, luz para o vermelho): ela mede $3\lambda$, ou seja, $\lambda_{\text{obs}}/\lambda = 3$:
$$3 = \sqrt{\frac{1+\beta_Y}{1-\beta_Y}} \Rightarrow 9 = \frac{1+\beta_Y}{1-\beta_Y} \Rightarrow 9-9\beta_Y = 1+\beta_Y \Rightarrow 10\beta_Y = 8 \Rightarrow \beta_Y = 0{,}8$$
Logo $v_Y = 0{,}8\,c$.

Compreendendo a geometria do problema: as duas naves viajam na mesma direção e no mesmo sentido. Para que $X$ se aproxime da fonte enquanto $Y$ se afasta, as naves estão em lados opostos da fonte: $X$ ainda não passou por ela e $Y$ já passou. Assim, no referencial inercial, as duas velocidades têm o mesmo sinal: $v_X = +0{,}6\,c$ e $v_Y = +0{,}8\,c$.

Adição relativística de velocidades: a velocidade de $Y$ medida por $X$ (que é o referencial em movimento a $0{,}6\,c$, o “objeto” sendo a nave $Y$, a $0{,}8\,c$) é
$$u = \frac{v_Y - v_X}{1-\dfrac{v_X\,v_Y}{c^{2}}} = \frac{0{,}8c-0{,}6c}{1-(0{,}6)(0{,}8)} = \frac{0{,}2\,c}{1-0{,}48} = \frac{0{,}2\,c}{0{,}52}$$
$$u \approx 0{,}3846\,c \approx 0{,}39\,c$$

O mesmo valor sai diretamente do gráfico: basta entrar na curva rotulada $0{,}6\,c$ (o referencial em movimento) na abscissa $0{,}8\,c$ (a velocidade do objeto no referencial inercial) e ler a ordenada, próxima de $0{,}39\,c$.

Repare no sentido físico: classicamente teríamos $0{,}8c-0{,}6c=0{,}2c$ (alternativa A, o distrator galileano). A correção relativística aumenta esse valor para $0{,}39\,c$, como tem de ser — mas sem nunca ultrapassar $c$.