Questão 30

As situações acima mostram um balde contendo um líquido de densidade conhecida. O balde é colocado em uma balança que atinge o equilíbrio em duas situações. Na Situação 1, o equilíbrio ocorre quando, no lado da balança oposto ao balde, é colocado um objeto de massa $M_1$, que é igual também à massa do líquido. Já, na Situação 2, a balança entra em equilíbrio quando, no lado da balança oposto ao balde, é colocado um objeto de massa $M_2$. Ainda na Situação 2, uma esfera é totalmente imersa no líquido por um pesquisador, com a superfície da esfera tangenciando a face do líquido. O pesquisador mantém sua mão imóvel e em contato com a esfera, de forma que nenhuma parte de sua mão fique submersa.

Dados:

• massa específica do líquido: $\rho$;

• raio da esfera: $R$;

• massa da esfera: $m_e$.

Observações:

• despreze as massas do balde e dos demais componentes da balança.

Para garantir a consistência das informações, a massa $M_2$ é:

Os princípios são o Princípio de Arquimedes e a Terceira Lei de Newton. O líquido empurra a esfera para cima com o empuxo $E$; pela ação e reação, a esfera empurra o líquido para baixo com uma força de mesmo módulo $E$. É essa força que a balança “sente” a mais na Situação 2 — e não o peso da esfera, que é sustentado pela mão do pesquisador, externa ao sistema pesado.

Situação 1 (calibração): como o balde tem massa desprezível, o prato do balde suporta apenas o peso do líquido. O equilíbrio da balança dá
$$M_1\,g = m_{\text{líq}}\,g \Rightarrow M_1 = m_{\text{líq}}$$
o que é exatamente o que o enunciado afirma — a Situação 1 serve apenas para identificar $M_1$ com a massa do líquido.

Situação 2 (diagrama de corpo livre do conjunto balde + líquido): atuam sobre esse sistema

• o peso do líquido, $M_1 g$, para baixo;

• a reação ao empuxo, aplicada pela esfera sobre o líquido, de módulo $E$, para baixo;

• a força normal $N$ do prato da balança, para cima.

Como tudo está em repouso,
$$N = M_1\,g + E$$

Calculando o empuxo: a esfera está totalmente imersa (a superfície apenas tangencia a face do líquido), de modo que o volume de líquido deslocado é o volume inteiro da esfera:
$$V_{\text{des}} = \frac{4}{3}\pi R^{3} \Rightarrow E = \rho\,V_{\text{des}}\,g = \frac{4}{3}\rho\pi R^{3}\,g$$

Equilíbrio da balança na Situação 2: o outro prato suporta $M_2 g$, logo
$$M_2\,g = N = M_1\,g + \frac{4}{3}\rho\pi R^{3}\,g$$
$$\boxed{\;M_2 = M_1 + \frac{4}{3}\rho\pi R^{3}\;}$$

Por que $m_e$ não aparece? Porque a mão do pesquisador é um apoio externo: ela sustenta a diferença $m_e g - E$ (ou é puxada para baixo, se a esfera for menos densa que o líquido). O prato só recebe o que o líquido transmite, e o líquido só “sabe” da esfera pelo volume que ela desloca. Se a esfera estivesse simplesmente apoiada no fundo do balde, aí sim toda a massa $m_e$ entraria na conta, e a resposta seria a alternativa (A) — que é justamente o distrator construído para essa confusão.

Dimensionalmente, $\rho R^{3}$ tem unidade de massa, de modo que a soma $M_1 + \frac{4}{3}\rho\pi R^{3}$ é consistente.