Questão 40

Três recipientes rígidos $A$, $B$ e $C$, de volume $V$, $2V$ e $3V$, respectivamente, contêm uma mistura gasosa ideal formada por até três gases inertes $X$, $Y$, $Z$, à mesma temperatura. Inicialmente, os recipientes estão isolados entre si e possuem pressões totais $P$, $2P$ e $3P$, respectivamente. Além disso, desconhece-se as pressões parciais dos gases em cada recipiente. Após a abertura simultânea das válvulas que os interligam, e o estabelecimento do equilíbrio à mesma temperatura, as pressões parciais finais uniformes em todo o sistema são $P_X$, $P_Y$, $P_Z$. Antes da abertura das válvulas, sabe-se que: (i) o recipiente $A$ não contém o gás $Z$; (ii) o recipiente $B$ não contém o gás $Y$; (iii) o recipiente $C$ não contém o gás $X$. Indique qual das alternativas a seguir apresenta os limites estritamente aplicáveis ao processo, em termos de $P_X$, $P_Y$ e $P_Z$.

Os gases são inertes e a temperatura é constante: nada reage e nada condensa, de modo que a quantidade de matéria de cada gás se conserva. Como $T$ é fixa, a equação de Clapeyron $pV = nRT$ mostra que o produto $pV$ de cada gás é proporcional ao seu número de mols. É conveniente, então, trabalhar com essa grandeza: para cada gás, a soma dos produtos “pressão parcial $\times$ volume” antes da abertura é igual ao produto correspondente depois.

Volume e pressão totais depois da abertura. O volume disponível passa a ser $V_{\mathrm{tot}} = V + 2V + 3V = 6V$. Pela conservação de $nRT$ somada sobre todos os gases:

Montando o balanço por gás. Chamemos de $q$ o produto $pV$ que cada gás traz de cada recipiente, sempre em unidades de $PV$. Pelas restrições do enunciado:

• recipiente $A$ (sem $Z$): $q_{AX} + q_{AY} = PV$, com $q_{AX},\,q_{AY} \ge 0$;

• recipiente $B$ (sem $Y$): $q_{BX} + q_{BZ} = 4PV$, com $q_{BX},\,q_{BZ} \ge 0$;

• recipiente $C$ (sem $X$): $q_{CY} + q_{CZ} = 9PV$, com $q_{CY},\,q_{CZ} \ge 0$.

Depois da mistura, cada pressão parcial vale o total de $q$ daquele gás dividido por $6V$:

Testando a alternativa (C). Somando $P_X$ e $P_Z$, aparece a simplificação decisiva: o recipiente $B$ só contém $X$ e $Z$, de modo que $q_{BX}+q_{BZ} = 4PV$ qualquer que seja a repartição interna.

Restam duas variáveis livres, com $0 \le q_{AX} \le PV$ e $0 \le q_{CZ} \le 9PV$. Os extremos são atingidos nos limites dessas faixas:

• Mínimo ($q_{AX} = 0$ e $q_{CZ} = 0$, isto é, $A$ só com $Y$ e $C$ só com $Y$):

• Máximo ($q_{AX} = PV$ e $q_{CZ} = 9PV$, isto é, nenhum $Y$ no sistema):

Os dois extremos são de fato alcançáveis, então os limites são estritos — exatamente o que a alternativa (C) afirma. Repare no significado dos extremos: o máximo corresponde a $P_Y = 0$ (só há $X$ e $Z$), e o mínimo corresponde a $P_X = 0$ com $Z$ vindo apenas de $B$.

Conferindo por que as demais falham. Aplicando o mesmo raciocínio a cada combinação:

(Em todos os casos a pressão parcial é o numerador dividido por $6V$.)

Note o padrão: a soma que “fecha” é sempre aquela que contém os dois gases de um mesmo recipiente — $X$ e $Z$ estão juntos em $B$, e é o conteúdo integral de $B$ ($4PV$) que produz o piso $2P/3$. As alternativas (A) e (E), que agrupam pares envolvendo o recipiente $A$ ou o $C$, erram por não reconhecer que os $9PV$ de $C$ já garantem, sozinhos, um piso bem mais alto para $P_Y + P_Z$.