Questão 23

Duas máquinas térmicas, ambas operando em ciclos de Carnot, são acopladas em série. A primeira máquina recebe calor de um reservatório térmico que se encontra a uma temperatura $T_1$, produz certa quantidade de trabalho e rejeita calor para um reservatório térmico intermediário de temperatura $T_2$ desconhecida. Por sua vez, este reservatório cede calor para a segunda máquina que também produz trabalho e cede energia para um terceiro reservatório térmico cuja temperatura é $T_3$.

O trabalho disponibilizado pela segunda máquina é $40\%$ daquele associado ao primeiro ciclo. Já o calor que alimenta a segunda máquina é igual a $80\%$ da energia rejeitada pelo primeiro ciclo para a fonte intermediária.

Dados:

• Temperatura $T_1$: $900\ \mathrm{K}$;

• Temperatura $T_3$: $300\ \mathrm{K}$.

A partir do contexto acima, a soma numérica dos rendimentos das duas máquinas é igual a:

Dois princípios governam o problema. O primeiro é a Primeira Lei da Termodinâmica aplicada a um ciclo: o trabalho produzido é a diferença entre o calor recebido e o calor rejeitado, $W = Q_{\text{quente}} - Q_{\text{frio}}$. O segundo é o Teorema de Carnot: para uma máquina reversível operando entre duas fontes,
$$\eta_{\text{Carnot}} = 1-\frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}$$
Como só as temperaturas $T_1$ e $T_3$ são conhecidas, a incógnita real é $T_2$; as duas informações percentuais do enunciado são a equação que a determina.

Máquina 1: recebe $Q_1$ da fonte $T_1$, produz $W_1$ e rejeita $Q_2$ para a fonte $T_2$:
$$\eta_1 = 1-\frac{T_2}{T_1} \qquad W_1 = \eta_1 Q_1 \qquad Q_2 = Q_1 - W_1 = Q_1(1-\eta_1) = Q_1\,\frac{T_2}{T_1}$$

Máquina 2: recebe apenas $80\%$ do calor rejeitado pela primeira, ou seja, $0{,}8\,Q_2$, e produz $W_2$:
$$\eta_2 = 1-\frac{T_3}{T_2} \qquad W_2 = \eta_2\cdot 0{,}8\,Q_2$$

Impondo a condição sobre os trabalhos: o enunciado diz que $W_2 = 0{,}4\,W_1$. Logo,
$$\eta_2\cdot 0{,}8\,Q_2 = 0{,}4\,\eta_1 Q_1$$
Substituindo $Q_2 = Q_1\,\dfrac{T_2}{T_1}$ e cancelando $Q_1$:
$$0{,}8\,\eta_2\,\frac{T_2}{T_1} = 0{,}4\,\eta_1 \Rightarrow 2\,\eta_2\,\frac{T_2}{T_1} = \eta_1$$

Resolvendo para $T_2$: com $\eta_2 = 1-\dfrac{300}{T_2}$, $\eta_1 = 1-\dfrac{T_2}{900}$ e $T_1=900\ \mathrm{K}$,
$$2\left(1-\frac{300}{T_2}\right)\frac{T_2}{900} = 1-\frac{T_2}{900}$$
$$\frac{2}{900}\left(T_2-300\right) = 1 - \frac{T_2}{900}$$
Multiplicando tudo por $900$:
$$2\left(T_2-300\right) = 900 - T_2 \Rightarrow 2T_2 - 600 = 900 - T_2 \Rightarrow 3T_2 = 1500$$
$$T_2 = 500\ \mathrm{K}$$

O valor é fisicamente aceitável: $T_3 < T_2 < T_1$, isto é, $300 < 500 < 900$, como exige o funcionamento em cascata.

Calculando os rendimentos:
$$\eta_1 = 1-\frac{500}{900} = \frac{400}{900} = \frac{4}{9} \qquad\qquad \eta_2 = 1-\frac{300}{500} = \frac{200}{500} = \frac{2}{5}$$

Somando:
$$\eta_1+\eta_2 = \frac{4}{9}+\frac{2}{5} = \frac{20}{45}+\frac{18}{45} = \frac{38}{45}$$

Numericamente, $\dfrac{38}{45}\approx 0{,}84$ — valor maior que $1$ seria impossível para uma única máquina, mas aqui trata-se da soma de dois rendimentos distintos, o que é perfeitamente admissível.