Questão 11

Seja o polígono formado pelos vértices $(x,y)$ que satisfazem as equações
$$y = \frac{2025}{x} \qquad\text{e}\qquad y^2 = -x^2 + 10145$$
com $x$ e $y \in \mathbb{R}^*$. Em relação ao polígono é correto afirmar que:

As duas equações descrevem uma hipérbole equilátera $xy = 2025$ e uma circunferência $x^2+y^2 = 10145$ centrada na origem. Os vértices do polígono são os pontos de interseção, e ambas as curvas são simétricas em relação à origem — fato que já antecipa a estrutura da figura.

Encontrando os pontos de interseção: de $y = \frac{2025}{x}$ (com $x \neq 0$), substituímos na equação da circunferência:
$$x^2 + \frac{2025^2}{x^2} = 10145 .$$

Multiplicando por $x^2$ e fazendo a substituição $u = x^2 > 0$:
$$u^2 - 10145\,u + 2025^2 = 0,\qquad 2025^2 = 4\,100\,625 .$$

O discriminante é
$$\Delta = 10145^2 - 4\cdot 4\,100\,625 = 102\,921\,025 - 16\,402\,500 = 86\,518\,525 > 0 ,$$
e, como a soma $10145$ e o produto $4\,100\,625$ das raízes são positivos, as duas raízes $u_1$ e $u_2$ são positivas e distintas. Numericamente, $\sqrt{\Delta}\approx 9301{,}5$, donde
$$u_1 \approx 9723{,}2 \quad\text{e}\quad u_2 \approx 421{,}8 .$$

Os quatro vértices: pondo $p = \sqrt{u_1}\approx 98{,}6$ e $q = \sqrt{u_2}\approx 20{,}5$, valem
$$p^2+q^2 = 10145 \qquad\text{e}\qquad pq = \sqrt{u_1u_2} = \sqrt{2025^2} = 2025 .$$

Assim, se $x = p$, então $y = \frac{2025}{p} = q$; e se $x = q$, então $y = p$. Como $x$ pode ser negativo (e nesse caso $y$ também é, pois $xy = 2025 > 0$), os pontos de interseção são
$$A = (p,\,q),\quad B = (q,\,p),\quad C = (-p,\,-q),\quad D = (-q,\,-p) .$$

São $4$ pontos distintos (pois $p \neq q$: se fosse $p = q$, teríamos $p^2 = 2025$ e $2p^2 = 4050 \neq 10145$). O polígono é, portanto, um quadrilátero.

Analisando as alternativas:

(A) Verdadeiro. Os pares $A$, $C$ e $B$, $D$ são simétricos em relação à origem, ou seja, $O$ é ponto médio de $\overline{AC}$ e de $\overline{BD}$. Como esses dois segmentos são as diagonais do quadrilátero (na ordem cíclica $A,B,C,D$ sobre a circunferência), ambas as diagonais são diâmetros e passam pela origem. Em consequência, o quadrilátero é um retângulo.

(B) Falso. A soma dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados é $(n-2)\cdot 180^\circ$; com $n = 4$, vale $360^\circ$, não $180^\circ$.

(C) Falso. Todos os vértices estão na circunferência $x^2+y^2 = 10145$, que é justamente o círculo circunscrito, de raio
$$R = \sqrt{10145} \approx 100{,}72 > 100 .$$

(D) Falso. Um quadrilátero possui $\dfrac{n(n-3)}{2} = \dfrac{4\cdot 1}{2} = 2$ diagonais, e não $5$.

(E) Falso. Como mostrado, o sistema tem quatro soluções distintas, pois a equação biquadrada em $u$ tem duas raízes positivas distintas, cada uma gerando $x = \pm\sqrt{u}$.