Questão 7

Sejam $r_1$ e $r_2$ as raízes da equação $a_1x^2+b_1x+c_1 = 0$, $r_2$ e $r_3$ as raízes da equação $a_2x^2+b_2x+c_2 = 0$ e $r_3$ e $r_1$ as raízes da equação $a_3x^2+b_3x+c_3 = 0$ com $r_1,r_2,r_3 \in \mathbb{R}^*$ e $a_1\cdot a_2\cdot a_3 \neq 0$. Calcule:
$$\left[\prod_{i=1}^{3}\left(\frac{a_i - b_i + c_i}{a_i}\right)\right]^{1/2}$$

Veja que $a_i - b_i + c_i$ é o valor numérico do $i$-ésimo trinômio em $x = -1$. Escrevendo cada trinômio na forma fatorada, esse valor se exprime imediatamente em função das raízes.

Interpretando a expressão: seja $P_i(x) = a_ix^2 + b_ix + c_i$. Então
$$P_i(-1) = a_i(-1)^2 + b_i(-1) + c_i = a_i - b_i + c_i .$$

Forma fatorada: se $\alpha$ e $\beta$ são as raízes de $P_i$, então $P_i(x) = a_i(x-\alpha)(x-\beta)$, de modo que
$$\frac{a_i - b_i + c_i}{a_i} = \frac{P_i(-1)}{a_i} = (-1-\alpha)(-1-\beta) = (1+\alpha)(1+\beta) .$$

Efetuando o produto: cada fator $(1+r_k)$ aparece exatamente duas vezes,
$$\prod_{i=1}^{3}\left(\frac{a_i-b_i+c_i}{a_i}\right) = (1+r_1)^2(1+r_2)^2(1+r_3)^2 = \left[(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\right]^2 .$$

Extraindo a raiz:
$$\left[\prod_{i=1}^{3}\left(\frac{a_i-b_i+c_i}{a_i}\right)\right]^{1/2} = (1+r_1)(1+r_2)(1+r_3),$$
se esse valor fosse positivo. Porém, não existem informações no enunciado que permitam concluir isso, portanto, a questão deve ser anulada.