Questão 29

A latitude e a longitude são coordenadas geográficas que oferecem a posição de ponto qualquer na Terra. A latitude é referenciada em relação à Linha do Equador ($0^{\circ}$ a $90^{\circ}$, Norte ou Sul). Já a longitude é referenciada em relação ao Meridiano de Greenwich ($0^{\circ}$ a $180^{\circ}$, Leste ou Oeste).

Sobre a superfície da Terra, uma fibra ótica deve ligar dois pontos $A$ e $B$.

Dados:

• coordenadas do ponto $A$: latitude $45^{\circ}$ Norte e longitude $0^{\circ}$;

• coordenadas do ponto $B$: latitude $45^{\circ}$ Norte e longitude $90^{\circ}$ Leste;

• raio da Terra: $R$;

• índice de refração da fibra ótica: $n$;

• velocidade da luz no vácuo: $c$.

O menor tempo de viagem possível de um sinal ótico pela fibra, a ser posicionada sobre a superfície da Terra, entre os pontos $A$ e $B$ é:

Dois princípios se combinam. Da óptica, a velocidade da luz em um meio de índice de refração $n$ é
$$v = \frac{c}{n}$$
Da geometria, o menor caminho entre dois pontos sobre uma esfera é o arco de círculo máximo (o círculo cujo centro coincide com o centro da esfera) — e não o arco de paralelo, que é o erro natural aqui, já que $A$ e $B$ estão na mesma latitude.

Localizando os pontos: com o centro da Terra na origem, latitude $\phi$ e longitude $\lambda$, um ponto da superfície tem coordenadas
$$\left(R\cos\phi\cos\lambda,\; R\cos\phi\,\sen\lambda,\; R\,\sen\phi\right)$$
Para $\phi=45^{\circ}$ em ambos, $\cos\phi=\sen\phi=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$:
$$A = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}R,\;0,\;\frac{\sqrt{2}}{2}R\right) \qquad B = \left(0,\;\frac{\sqrt{2}}{2}R,\;\frac{\sqrt{2}}{2}R\right)$$

A corda $AB$:
$$\overline{AB} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}R\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}R\right)^{2}+0} = \sqrt{\frac{R^{2}}{2}+\frac{R^{2}}{2}} = R$$

Resultado notável: a corda vale exatamente $R$. Logo, o triângulo $CAB$ tem $\overline{CA}=\overline{CB}=\overline{AB}=R$ — é equilátero. Portanto o ângulo central entre $A$ e $B$ é
$$\gamma = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}\ \mathrm{rad}$$

O comprimento mínimo da fibra: é o arco de círculo máximo correspondente a esse ângulo:
$$\ell = R\,\gamma = \frac{\pi R}{3}$$

O tempo de viagem:
$$t = \frac{\ell}{v} = \frac{\pi R/3}{c/n} = \frac{\pi R n}{3c}$$

Conferindo que é mesmo o mínimo: se a fibra seguisse o paralelo de $45^{\circ}$ Norte, cujo raio é $R\cos 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}R$, o comprimento seria
$$\ell_{\text{paralelo}} = \frac{\sqrt{2}}{2}R\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{2}\,\pi R}{4} \approx 1{,}11\,R$$
contra $\ell = \dfrac{\pi R}{3}\approx 1{,}05\,R$ pelo círculo máximo — de fato menor. (O caminho pelo paralelo é justamente o distrator da alternativa C.)