Questão 17

Cientistas estudaram a órbita de um planeta distante $P$ em torno de uma estrela $S$ e concluíram que a razão entre as distâncias de $S$ ao apoastro e de $S$ ao periastro de $P$ é de $9/4$. Portanto, o valor que mais se aproxima da razão entre as energias potenciais gravitacionais de $P$ no apoastro e no ponto $B$ da órbita, mostrado na figura, é:

O princípio é a expressão da energia potencial gravitacional de um par de massas separadas por uma distância $r$:
$$U(r) = -\,\frac{G\,M_S\,m_P}{r}$$
Como $G$, $M_S$ e $m_P$ são os mesmos nos dois pontos comparados, a razão entre as energias potenciais é simplesmente a razão inversa das distâncias à estrela:
$$\frac{U_{\text{apo}}}{U_{B}} = \frac{-GM_Sm_P/r_{\text{apo}}}{-GM_Sm_P/r_{B}} = \frac{r_B}{r_{\text{apo}}}$$
Todo o problema, então, é geometria de elipse: falta achar $r_B$.

Compreendendo a geometria da elipse: a estrela $S$ ocupa um dos focos. Sendo $a$ o semieixo maior, $b$ o semieixo menor e $c$ a distância focal (de $O$ a $S$), valem
$$r_{\text{peri}} = a-c, \qquad r_{\text{apo}} = a+c, \qquad r_{\text{peri}}+r_{\text{apo}} = 2a$$

Do enunciado, $\dfrac{r_{\text{apo}}}{r_{\text{peri}}}=\dfrac{9}{4}$. Escrevendo $r_{\text{peri}}=4k$ e $r_{\text{apo}}=9k$, temos
$$2a = 4k+9k = 13k \Rightarrow a = \frac{13k}{2}$$
$$c = a - r_{\text{peri}} = \frac{13k}{2}-4k = \frac{5k}{2}$$
$$b = \sqrt{a^{2}-c^{2}} = \sqrt{\frac{169k^{2}}{4}-\frac{25k^{2}}{4}} = \sqrt{36k^{2}} = 6k$$

A distância de $S$ ao ponto $B$: o ponto $B$ é a extremidade do eixo menor. O triângulo $O\,S\,B$ é retângulo em $O$, com catetos $c$ e $b$, de modo que
$$r_B = \sqrt{b^{2}+c^{2}} = \sqrt{a^{2}-c^{2}+c^{2}} = a$$

Ou seja, a distância do foco à extremidade do eixo menor é sempre igual ao semieixo maior — uma propriedade que vale para qualquer elipse e que dispensa conta numérica. Aqui, $r_B = a = \dfrac{13k}{2}$.

Calculando a razão:
$$\frac{U_{\text{apo}}}{U_{B}} = \frac{r_B}{r_{\text{apo}}} = \frac{13k/2}{9k} = \frac{13}{18}$$

Fisicamente: as duas energias são negativas, e o apoastro está mais longe da estrela do que o ponto $B$; logo $U_{\text{apo}}$ é menos negativa, e a razão entre elas deve ser um número positivo menor que $1$. De fato, $\dfrac{13}{18}\approx 0{,}72$.