Questão 8

Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função. Considere as seguintes afirmações:

I. Se $f(x)=f(f(x))$ para todo $x\in\mathbb{R}$, então $f$ é uma função constante.

II. Se $f(f(x))=2x-7$ para todo $x\in\mathbb{R}$, então $f$ é uma função bijetora.

III. Se $f(x)+2f(-x)=x+1$ para todo $x\in\mathbb{R}$, então $f$ é uma função afim.

É (São) VERDADEIRA(S):

Analisando a afirmação I: supondo $f(x)=x$ e como $f$ é função, podemos escrever:
$f(f(x))=f(x)$
Essa função não é constante e satisfaz a condição da afirmação, logo a afirmação I é falsa.

Analisando a afirmação II: chamemos $g(x)=2x-7$. Essa função afim de coeficiente angular não nulo é bijetora de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. A hipótese é que $f\circ f=g$. O princípio que resolve tudo é: se a composta é injetora, o fator de dentro é injetor; se a composta é sobrejetora, o fator de fora é sobrejetor. Aqui os dois fatores são a mesma $f$, e por isso ela herda as duas propriedades.

Detalhando a injetividade: se $f(a)=f(b)$, aplicando $f$ aos dois lados obtemos $f(f(a))=f(f(b))$, isto é, $2a-7=2b-7$, donde $a=b$. Logo $f$ é injetora.

Detalhando a sobrejetividade: dado $y\in\mathbb{R}$, como $g$ é sobrejetora existe $x$ com $g(x)=y$, ou seja, $f\big(f(x)\big)=y$. Assim $y$ é imagem, por $f$, do número $f(x)$. Logo $f$ é sobrejetora.

Sendo injetora e sobrejetora, $f$ é bijetora, e a afirmação II é verdadeira.

Analisando a afirmação III: a equação
$$f(x)+2f(-x)=x+1$$
vale para todo real, então podemos trocar $x$ por $-x$ e obter uma segunda equação com as mesmas duas incógnitas $f(x)$ e $f(-x)$:
$$f(-x)+2f(x)=-x+1$$
Temos agora um sistema linear nas “incógnitas” $f(x)$ e $f(-x)$. Multiplicando a segunda equação por $2$,
$$2f(-x)+4f(x)=-2x+2$$
e subtraindo dela a primeira equação, o termo $2f(-x)$ desaparece — foi justamente para eliminá-lo que escolhemos esse fator:
$$3f(x)=(-2x+2)-(x+1)=-3x+1$$
$$f(x)=-x+\frac{1}{3}$$
Portanto, a função é afim, logo afirmação III é verdadeira.

São verdadeiras apenas as afirmações II e III.