Questão 32

Uma amostra contém inicialmente apenas os elementos J e L. Após um tempo igual a $2t$, observou-se o aparecimento de mais dois elementos, M e Q, na proporção Q/M $= 30$. Os elementos M e Q são originados do decaimento radioativo de J e L, respectivamente. Sabendo que o tempo de meia-vida $(t_{1/2})$ de J é igual a $t$ e de L igual a $t/3$, assinale a alternativa que apresenta o valor CORRETO da razão entre as quantidades iniciais de L/J.

Todo decaimento radioativo é de primeira ordem, logo a meia-vida é constante:$$N = \frac{N_0}{2^{\,n}}$$
M e Q são as quantidades que decaíram de J e de L. A quantidade de produto formado é a diferença entre o que havia no início e o que sobrou.

Contando as meias-vidas de cada elemento: no mesmo intervalo de tempo $2t$,
$$n_J = \frac{2t}{t} = 2 \qquad\qquad n_L = \frac{2t}{t/3} = 6$$
O elemento L, por ter meia-vida três vezes menor, atravessa seis meias-vidas enquanto J atravessa apenas duas.

Calculando o produto formado a partir de J:
$$M = J_0 - \frac{J_0}{4} = \frac{3}{4}\,J_0$$

Calculando o produto formado a partir de L:
$$Q = L_0 - \frac{L_0}{64} = \frac{63}{64}\,L_0$$

Pelo enunciado, Q/M $= 30$. Então
$$\frac{Q}{M} = \frac{\dfrac{63}{64}\,L_0}{\dfrac{3}{4}\,J_0} = \frac{63}{64}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{L_0}{J_0} = \frac{21}{16}\cdot\frac{L_0}{J_0} = 30$$
$$\frac{L_0}{J_0} = 30\cdot\frac{16}{21} = \frac{480}{21} = 22{,}86$$