Questão 11

Um tetraedro possui quatro arestas de tamanho $\sqrt{3}$ e duas arestas opostas de tamanho $2$. O volume desse tetraedro é

A palavra-chave é opostas: num tetraedro, duas arestas opostas são as que não têm vértice em comum. Chamando o tetraedro de $ABCD$, podemos supor
$$AB=CD=2, \qquad AC=AD=BC=BD=\sqrt{3}$$
Essa configuração tem uma simetria muito forte, e é ela que organiza toda a resolução: o segmento que une os pontos médios das duas arestas opostas é perpendicular a ambas, e funciona como a “altura efetiva” do sólido.

Localizando o pé da perpendicular na aresta CD: olhe primeiro para o triângulo $ACD$. Ele tem $AC=AD=\sqrt{3}$ e base $CD=2$, logo é isósceles e a mediana relativa a $CD$ também é altura. Sendo $N$ o ponto médio de $CD$, temos $CN=ND=1$ e, por Pitágoras no triângulo retângulo $ANC$,
$$AN=\sqrt{AC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$$
Pelo mesmo argumento no triângulo $BCD$, que tem exatamente as mesmas medidas,
$$BN=\sqrt{2}$$
Como $AN$ e $BN$ são ambos perpendiculares a $CD$, a reta $CD$ é perpendicular ao plano $ABN$ — é este o fato que desbloqueia o problema.

Medindo a distância entre as duas arestas opostas: agora olhe para o triângulo $ABN$. Ele tem $AN=BN=\sqrt{2}$ e base $AB=2$, ou seja, também é isósceles. Sendo $M$ o ponto médio de $AB$, temos $AM=MB=1$ e
$$MN=\sqrt{AN^{2}-AM^{2}}=\sqrt{2-1}=1$$
O segmento $MN$ é perpendicular a $AB$ (por ser altura desse triângulo isósceles) e também é perpendicular a $CD$ (pois está contido no plano $ABN$, que é perpendicular a $CD$). Logo $MN$ é a perpendicular comum às duas arestas opostas, e a distância entre as retas suportes de $AB$ e $CD$ vale
$$d=MN=1$$

Determinando o ângulo entre as arestas opostas: como $CD$ é perpendicular ao plano $ABN$, e a reta $AB$ está nesse plano, as duas arestas opostas são perpendiculares entre si:
$$\theta=90^{\circ} \;\Longrightarrow\; \sen \theta=1$$

Aplicando a fórmula do volume por arestas opostas: para um tetraedro cujas arestas opostas medem $a$ e $b$, separadas por distância $d$ e formando ângulo $\theta$, vale
$$V=\frac{1}{6}\,a\,b\,d\,\sen \theta$$
Substituindo $a=AB=2$, $b=CD=2$, $d=1$ e $\sen \theta=1$:
$$V=\frac{1}{6}\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Resolução alternativa — decompondo em duas pirâmides

Quem não quiser recorrer à fórmula das arestas opostas pode cortar o tetraedro pelo plano $ABN$, que contém $M$ e $N$ e é perpendicular a $CD$. Esse corte separa $ABCD$ em duas pirâmides, $ABNC$ e $ABND$, ambas com a mesma base: o triângulo $ABN$.

A área dessa base é
$$[ABN]=\frac{AB\cdot MN}{2}=\frac{2\cdot 1}{2}=1$$
As alturas das duas pirâmides são $CN=1$ e $ND=1$, pois $CD$ é perpendicular ao plano $ABN$. Somando,
$$V=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 1=\frac{2}{3}$$
O mesmo resultado, obtido só com a fórmula do volume da pirâmide.

O volume do tetraedro é $\frac{2}{3}$.