Questão 3

Seja $ABC$ um triângulo no plano cartesiano com vértices $A=(0,0)$, $B=(2,4)$ e $C$, o qual pertence à circunferência de raio $2$ e centro $(4,0)$. A maior área possível para o triângulo $ABC$ é

O princípio é o mais elementar da geometria: com a base fixa, a área do triângulo só depende da altura relativa a essa base. Como $A$ e $B$ estão fixos, o segmento $AB$ é uma base imóvel e
$$\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot d(C,\overleftrightarrow{AB})$$
Maximizar a área é, portanto, maximizar a distância de $C$ até a reta $AB$ — e $C$ corre sobre uma circunferência. Para um ponto que percorre uma circunferência de centro $O$ e raio $R$, a maior distância a uma reta que não a intercepta é a distância do centro à reta somada ao raio, pois o ponto mais afastado é aquele diametralmente oposto ao pé da perpendicular.

Medindo a base: de $A=(0,0)$ a $B=(2,4)$,
$$AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$
A reta $AB$ passa pela origem com coeficiente angular $4/2=2$, logo é $y=2x$, isto é,
$$2x-y=0$$

Medindo a distância do centro à reta: com $O=(4,0)$,
$$d(O,\overleftrightarrow{AB})=\frac{|2\cdot 4-0|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{8}{\sqrt{5}}$$
Como $\frac{8}{\sqrt{5}}\approx 3{,}58$ é maior que o raio $2$, a circunferência não toca a reta $AB$ — e isso garante que todo ponto $C$ dela gera um triângulo de fato, além de validar a soma que faremos a seguir.

Somando o raio para obter a altura máxima: o ponto de $C$ mais distante da reta é o extremo do diâmetro perpendicular a $AB$, do lado oposto à reta. Sua distância vale
$$d_{\max}=\frac{8}{\sqrt{5}}+2$$

Calculando a área máxima:
$$\text{Área}_{\max}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot\left(\frac{8}{\sqrt{5}}+2\right)=\sqrt{5}\cdot\frac{8}{\sqrt{5}}+2\sqrt{5}$$
$$\text{Área}_{\max}=8+2\sqrt{5}$$

O valor $8+2\sqrt{5}\approx 12{,}47$ supera ligeiramente a área $8$ que se obteria com $C$ no centro da circunferência — o ganho de $2\sqrt{5}$ é exatamente a contribuição do raio à altura. A maior área possível é $8+2\sqrt{5}$.