Questão 4

Considere as afirmações abaixo:

I. Sejam $A,B\in M_n(\mathbb{R})$, com $A$ invertível, $A^{t}=A^{-1}$ e $B$ simétrica. Então, $A(I_n-BA)^{t}=A-B$.

II. Sejam $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ matrizes que comutam. Se $A^{2}=B^{2}$, então $A=B$ ou $A=-B$.

III. Para quaisquer números naturais $n$ e $m$, existem matrizes $A\in M_{n,m}(\mathbb{R})$ e $B\in M_{m,n}(\mathbb{R})$ tais que $AB$ é invertível.

É (São) VERDADEIRA(S):

Afirmação I: Se $(XY)^{t}=Y^{t}X^{t}$, então
$$(I_n-BA)^{t}=I_n^{t}-(BA)^{t}=I_n-A^{t}B^{t}$$
Em seguida, sendo $B$ simétrica, o que significa que $B^{t}=B$, e sendo $A$ ortogonal, o que significa que $A^{t}=A^{-1}$, então, temos:
$$I_n-A^{t}B^{t}=I_n-A^{-1}B$$
Multiplicando à esquerda da primeira expressão encontrada por $A$:
$$A\left(I_n-A^{-1}B\right)=A\,I_n-A\,A^{-1}B=A-B$$
A afirmação I é verdadeira.

Afirmação II:
Basta exibir um contraexemplo. Tome
$$A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}, \qquad B=I_2$$
Note que:
$$A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2=B^{2}$$

Apesar de $A^{2}=B^{2}, A\neq B$ e $A\neq -B$. Logo, a afirmação II é falsa.

Afirmação III:
Novamente, basta exibir um contraexemplo. Tomemos $n$ = 2 e $m$ = 1. Então,
$$A=\begin{pmatrix} a_{1}\\a_{2} \end{pmatrix}$$ e
$$B=\begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} \end{pmatrix}$$

Então,
$$AB=\begin{pmatrix} a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2}\\a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} \end{pmatrix}$$

Vemos que:

para quaisquer valores de $a_{1}$, $a_{2}$, $b_{1}$ e $b_{2}$. Logo, a alternativa III é falsa.

A alternativa correta da questão é A.