Questão 18

Um aro circular fino, de raio $R$ e massa desprezível, gira em torno de seu eixo vertical com uma velocidade angular constante $\Omega$. Uma pequena miçanga, de massa $m$ e dimensões desprezíveis, está inserida no aro, podendo deslizar sem atrito ao longo de sua circunferência, como pode ser visto na figura abaixo. A aceleração da gravidade local é constante e vale $g$. Assinale a alternativa que apresenta o maior intervalo de velocidade angular $\Omega$ em que há sempre equilíbrio estável da miçanga em um ângulo $\theta_0 > 0^{\circ}$, quando considerado um observador que gira junto com o aro.

No referencial que gira com o aro, atuam sobre a miçanga: o peso $mg$ (vertical),
a força centrífuga $m\Omega^2 R\sin\theta$ (horizontal, para fora do eixo) e a normal
(radial, sem componente tangencial). Projetando na direção tangente ao aro:
$$mg\sin\theta_0 = m\Omega^2 R\sin\theta_0\cos\theta_0 .$$

Para $\theta_0>0^\circ$ ($\sin\theta_0\neq 0$):
$${\cos\theta_0 = \frac{g}{\Omega^2 R}}$$
Esse equilíbrio só existe se $\cos\theta_0<1$, isto é,
$$\Omega^2 R > g \quad\Longrightarrow\quad \Omega > \sqrt{g/R}.$$

Apenas a alternativa A contém exatamente esse intervalo.

Observação: Vamos agora discutir a estabilidade do ponto de equilíbrio.

No referencial girante, a energia potencial efetiva (gravitacional + centrífuga),
com referência no centro do aro, é
$$U(\theta) = -mgR\cos\theta - \tfrac{1}{2}m\Omega^2R^2\sin^2\theta .$$

Em $\theta=0$:
$$U(0) = -mgR .$$

Em $\theta=90^\circ$:
$$U(90^\circ) = -\tfrac{1}{2}m\Omega^2R^2 .$$

Em $\theta_0$ (com $\cos\theta_0=g/\Omega^2R$ e $\sin^2\theta_0 = 1-\frac{g^2}{\Omega^4R^2}$):
$$U(\theta_0) = -\frac{mg^2}{\Omega^2} - \frac{1}{2}m\Omega^2R^2 + \frac{1}{2}\frac{mg^2}{\Omega^2} = -\frac{1}{2}m\Omega^2R^2 - \frac{1}{2}\frac{mg^2}{\Omega^2}.$$

Comparando U($\theta_0$) e U(0):
$$U(\theta_0) - U(0) = -\frac{m}{2\Omega^2}\left(\Omega^2R - g\right)^2 < 0, \qquad U(\theta_0) - U(90^\circ) = -\frac{mg^2}{2\Omega^2} < 0 .$$

Como $0<\cos\theta_0<1$, temos $\theta_0\in\left]0^\circ,90^\circ\right[$, e $\theta_0$ é o único ponto crítico de $U$ nesse intervalo.
Sendo $U(\theta_0)$ menor que os valores nas extremidades, $\theta_0$ é um mínimo de $U(\theta)$. Logo, o equilíbrio em $\theta_0$ é estável.