Questão 1

Sabe-se que a área de uma elipse é proporcional ao produto das medidas de seus eixos maior e menor. Considere duas elipses, $E_1$ e $E_2$, ambas com os mesmos focos. Sabe-se que a excentricidade de $E_1$ é duas vezes a de $E_2$ e que a área de $E_2$ é seis vezes a de $E_1$. O valor da excentricidade de $E_1$ é

Em toda elipse de semieixo maior $a$, semieixo menor $b$ e semidistância focal $c$, vale
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}, \qquad e=\frac{c}{a}$$
As duas elipses têm os mesmos focos, logo compartilham o mesmo valor de $c$.

Se $e_1=2e_2$, então
$$\frac{c}{a_1}=2\cdot\frac{c}{a_2}$$
e, como $c\neq 0$, podemos cancelá-lo dos dois lados:
$$a_2=2a_1$$

A área é proporcional ao produto dos eixos, isto é, proporcional a $(2a)(2b)=4ab$. Como a constante de proporcionalidade é a mesma para as duas elipses, ela se cancela na razão e a condição “área de $E_2$ é seis vezes a de $E_1$” vira simplesmente
$$a_2 b_2 = 6\,a_1 b_1$$

Pela relação fundamental,
$$b_1=\sqrt{a_1^{2}-c^{2}}, \qquad b_2=\sqrt{a_2^{2}-c^{2}}=\sqrt{4a_1^{2}-c^{2}}$$
Substituindo na igualdade das áreas e usando $a_2=2a_1$:
$$2a_1\sqrt{4a_1^{2}-c^{2}} = 6\,a_1\sqrt{a_1^{2}-c^{2}}$$
Dividindo por $2a_1>0$:
$$\sqrt{4a_1^{2}-c^{2}} = 3\sqrt{a_1^{2}-c^{2}}$$

Elevando ao quadrado (ambos os lados são positivos, de modo que a operação é reversível),
$$4a_1^{2}-c^{2} = 9a_1^{2}-9c^{2}$$
$$8c^{2}=5a_1^{2}$$
$$\frac{c^{2}}{a_1^{2}}=\frac{5}{8}$$
Logo
$$e_1=\frac{c}{a_1}=\sqrt{\frac{5}{8}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$$

Como verificação de consistência, $e_1=\sqrt{10}/4\approx 0{,}79$ e $e_2=e_1/2\approx 0{,}40$ são ambos menores que $1$, como tem de ser para elipses de fato. A excentricidade de $E_1$ é, portanto, $\sqrt{10}/4$.