Questão 15

Em um treino de beisebol, uma bola é lançada por um arremessador com uma velocidade horizontal de $36\ \mathrm{km/h}$, a uma altura de $175\ \mathrm{cm}$ do solo. Após percorrer uma distância horizontal de $5\ \mathrm{m}$, ela é atingida pelo rebatedor e passa a ter, instantaneamente, uma velocidade de $45\ \mathrm{km/h}$, formando um ângulo de $30^{\circ}$ com a horizontal. Ela realiza sua trajetória até ser pega em movimento descendente por um defensor a uma altura de $175\ \mathrm{cm}$ acima do solo.

Assinale a alternativa que apresenta os gráficos cinemáticos de posição ($y$) e velocidade vertical ($v_y$) da bola, conforme a descrição acima.

No lançamento oblíquo, o movimento horizontal é uniforme e o vertical é uniformemente variado, com
$$v_y = v_{0y} - g\,t \qquad\qquad y = y_0 + v_{0y}\,t - \frac{g\,t^{2}}{2}$$
A rebatida é um choque de duração desprezível: ela não muda a posição da bola, mas muda a velocidade instantaneamente.

Analisando do arremesso até a rebatida: convertendo as unidades, $36\ \mathrm{km/h} = 10\ \mathrm{m/s}$, e o movimento horizontal é uniforme:
$$t_1 = \frac{\Delta x}{v_x} = \frac{5}{10} = 0{,}5\ \mathrm{s}$$
Como a bola foi lançada horizontalmente, nesse trecho $v_{0y} = 0$, e portanto
$$v_y(t_1) = -10\cdot 0{,}5 = -5\ \mathrm{m/s}$$
$$y(t_1) = 1{,}75 - \frac{10\cdot (0{,}5)^{2}}{2} = 1{,}75 - 1{,}25 = 0{,}5\ \mathrm{m}$$
A bola chega ao bastão descendo a $5\ \mathrm{m/s}$, meio metro acima do solo.

O salto de velocidade na rebatida: agora $45\ \mathrm{km/h} = 12{,}5\ \mathrm{m/s}$, inclinados de $30^{\circ}$. O que interessa ao gráfico de $v_y$ é a componente vertical, e a componente vertical pede o seno:
$$v_{0y}' = 12{,}5\cdot\sen 30^{\circ} = 12{,}5\cdot 0{,}5 = 6{,}25\ \mathrm{m/s}$$
Ou seja, em $t = 0{,}5\ \mathrm{s}$ a velocidade vertical pula de $-5\ \mathrm{m/s}$ para $+6{,}25\ \mathrm{m/s}$. Aqui já caem as alternativas (B) e (D), que usam o cosseno ou um valor próximo de $10\ \mathrm{m/s}$, e cai a (C), que coloca a rebatida em $t \approx 0{,}7\ \mathrm{s}$.

Contando o tempo a partir da rebatida, a subida dura
$$t_{\text{subida}} = \frac{6{,}25}{10} = 0{,}625\ \mathrm{s}$$
e a bola sobe
$$\Delta y = \frac{v_{0y}'^{\,2}}{2g} = \frac{(6{,}25)^{2}}{20} = 1{,}95\ \mathrm{m}$$
de modo que o ponto mais alto vale $0{,}5 + 1{,}95 \approx 2{,}45\ \mathrm{m}$, atingido em $t \approx 0{,}5 + 0{,}625 = 1{,}125\ \mathrm{s}$.

O defensor pega a bola a $175\ \mathrm{cm}$ do solo, e não na altura em que ela foi rebatida. Do ponto mais alto até $y = 1{,}75\ \mathrm{m}$ a queda é de $2{,}45 - 1{,}75 = 0{,}70\ \mathrm{m}$, o que consome
$$t_{\text{queda}} = \sqrt{\frac{2\cdot 0{,}70}{10}} \approx 0{,}37\ \mathrm{s}$$
Portanto o movimento termina em $t \approx 1{,}125 + 0{,}37 \approx 1{,}5\ \mathrm{s}$, com
$$v_y = -10\cdot 0{,}37 \approx -3{,}7\ \mathrm{m/s}$$

O gráfico correto é então aquele em que $y$ começa e termina em $1{,}75\ \mathrm{m}$, com mínimo $0{,}5\ \mathrm{m}$ em $t = 0{,}5\ \mathrm{s}$ e máximo $2{,}45\ \mathrm{m}$ perto de $t = 1{,}1\ \mathrm{s}$, e em que $v_y$ salta de $-5$ para $+6{,}25\ \mathrm{m/s}$ em $t = 0{,}5\ \mathrm{s}$, terminando em torno de $-3{,}7\ \mathrm{m/s}$ em $t \approx 1{,}5\ \mathrm{s}$. A alternativa (A) erra justamente no fim: ela deixa a bola voltar até $0{,}5\ \mathrm{m}$, isto é, a pega na altura do bastão, e não na altura do defensor.