Questão 5

Três jogadores disputam um jogo, arremessando moedas. O jogador $A$ arremessa uma moeda repetidas vezes até que obtenha cara, recebendo um ponto por lançamento. O jogador $B$ joga três moedas e recebe um ponto por cada coroa. O jogador $C$ joga uma moeda e recebe três pontos se obtiver coroa e zero caso contrário. Considere as seguintes afirmações:

I. A probabilidade de $A$ fazer mais pontos que $B$ é maior que $50\%$.

II. A probabilidade de empate entre $A$ e $B$ é maior que $25\%$.

III. A probabilidade de $B$ fazer mais pontos que $C$ é maior que $50\%$.

É (São) VERDADEIRA(S):

Vamos entender a forma de pontuar de cada jogador. Vamos usar "K" para "cara" e "C" para "coroa".

Jogador $A$:

O jogador $A$ repetidamente até que uma "cara" apareça e ele pontua a cada jogada feita (independentemente do resultado). Então, as jogadas serão do formato:

• $1$ jogada: K – $1$ ponto
• $2$ jogadas: C; K – $2$ pontos
• $3$ jogadas: C; C; K – $3$ pontos
• $4$ jogadas: C; C; C; K – $4$ pontos

Não é necessário que façamos mais que $4$ iterações, pois nenhum dos outros jogadores faz mais que $3$ pontos, então já é suficiente para fazermos nossas comparações.

A probabilidade é $\frac{1}{2}$ para cada lado da moeda, então temos:

• $1$ jogada: K – $\frac{1}{2}$
• $2$ jogadas: C; K – $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
• $3$ jogadas: C; C; K – $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
• $4$ jogadas: C; C; C; K – $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$

Jogador $B$:

O jogador $B$ tem $3$ moedas e as joga simultaneamente. Ele pontua para os resultados que forem "cara". Então:

• 1ª possibilidade: K;K;K – $3$ pontos
• 2ª possibilidade: K;K;C – $2$ pontos
• 3ª possibilidade: K;C;C – $1$ pontos
• 4ª possibilidade: C;C;C – $0$ pontos

A 1ª e a 4ª possibilidade não possuem permutações. A 2ª e a 3ª possibilidade possuem $3$ permutações ao total. Então:

• 1ª possibilidade: K;K;K – $\frac{1}{8}$
• 2ª possibilidade: K;K;C – $\frac{3}{8}$
• 3ª possibilidade: K;C;C – $\frac{3}{8}$
• 4ª possibilidade: C;C;C – $\frac{1}{8}$

Jogador $C$:

O jogador $C$ joga apenas $1$ moeda e apenas $1$ vez. Se o resultado for "cara", ele pontua $0$. Se o resultado por "coroa", o resultado é $3$ pontos. Logo, ele possui $\frac{1}{2}$ chance de obter cada resultado.

Agora vamos analisar cada afirmação:

Afirmação I:

Vamos analisar as probabilidades dos cenários em que $A$ faz mais pontos que $B$:

• $B = 0$ e $A$ pode ter qualquer resultado (porque $A$ sempre tira pelo menos $1$ pontos): $\frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$
• $B = 1$ e $A > 1$: $\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{16}$
• $B = 2$ e $A > 2$: $\frac{3}{8} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{32}$
• $B = 3$ e $A > 3$: $\frac{1}{8} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{64}$

Somando essas probabilidades, temos a probabilidade total de $\frac{27}{64}$, que é menor que $50\%$. Logo, afirmativa I é falsa.

Afirmação II:

Os cenários de empate entre $A$ e $B$ são:

• $A = 1$ e $B = 1$: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16}$
• $A = 2$ e $B = 2$: $\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{32}$
• $A = 3$ e $B = 3$: $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{64}$

Somando essas probabilidades, temos a probabilidade total de $\frac{19}{64}$, que é maior que $25\%$. Logo, afirmativa II é verdadeira.

Afirmação III:

O cenário em que $B$ faz mais pontos que $C$ acontece quando $C = 0$ e $B$ faz qualquer pontuação diferente de zero. Então: $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{16}$, o que dá menos de $50\%$. Logo, a afirmativa III é falsa.

A alternativa correta para a questão é C.