Questão 20

Uma explosão controlada ocorre no solo a 30 m de um prédio de altura $H = 40$ m sobre o qual se encontra um engenheiro que mede o intervalo de tempo $\Delta t$ desde a detecção da luz da explosão até a detecção sonora, usando um aparato especial que ele mesmo desenvolveu. Considere $c_0$ a velocidade do som a $T_0 = 273{,}15$ K, $T_1$ a temperatura do ar desde o solo até a altura $h$ e $T_2$ a temperatura do ar desde essa mesma altura até o topo do prédio. Ambas temperaturas são expressas em Kelvin e $T_2 > T_1 > T_0$. Assinale a alternativa que corresponde à fórmula que fornece a altura de inversão térmica $h$. Use a aproximação $\sen(\theta + \Delta\theta) \approx \sen(\theta)$ para $\Delta\theta \ll \theta$.

Em um gás ideal, a velocidade do som é proporcional à raiz quadrada da temperatura absoluta. Como $c_0$ é a velocidade à temperatura $T_0$, temos:
$$c(T) = c_0\sqrt{\frac{T}{T_0}}$$.
Logo:
$$c_1 = c_0\sqrt{\frac{T_1}{T_0}}$$
$$c_2 = c_0\sqrt{\frac{T_2}{T_0}}$$
Como o ar está dividido em duas camadas de temperaturas diferentes, o som viaja com duas velocidades diferentes, e o tempo total é a soma de dois trechos.

Admitindo o contexto realista de inversão térmica na atmosfera a pequenas altitudes (40 m), a variação de temperatura de $T_1$ para $T_2$ é desprezível, de modo que podemos considerar a trajetória do raio sonoro retilínea desde a explosão até o engenheiro, o que é validado pela aproximação $\sen(\theta+\Delta\theta)\approx\sen(\theta)$ dada no enunciado.

A explosão ocorre a 30 m do prédio e o engenheiro a 40 m de altura. Pelo teorema de Pitágoras, a distância percorrida pelo som é
$$L = \sqrt{30^{2} + 40^{2}} = 50\ \mathrm{m}$$
Como o raio sonoro é retilíneo, o comprimento dele em cada trecho é proporcional à altura que ele sobe:

A luz chega praticamente instantaneamente, de modo que $\Delta t$ é o tempo do som:
$$\Delta t = \frac{L_1}{c_1} + \frac{L_2}{c_2} = \frac{1{,}25\,h}{c_0\sqrt{T_1/T_0}} + \frac{1{,}25\,(H-h)}{c_0\sqrt{T_2/T_0}}$$
$$\Delta t = \frac{1{,}25}{c_0}\left[h\sqrt{\frac{T_0}{T_1}} + (H-h)\sqrt{\frac{T_0}{T_2}}\right]$$

Observação: acreditamos que a banca poderia ter sido um pouco mais preciosista e afirmar que, de fato, a variação de temperatura é desprezível entre as camadas de ar. Sem isso, o candidato poderia tentar resolver a questão utilizando a lei de Snell, o que a tornaria inviável analiticamente, podendo causar-lhe prejuízo.