Questão 2

De um ponto $E$ pertencente ao lado $AB$ de um quadrado $ABCD$ de lado medindo $10$, é traçada uma reta $r$, paralela à diagonal $AC$, que intercepta o lado $BC$ no ponto $F$. Se a distância entre a reta $r$ e a diagonal $AC$ é $5$, então o raio da circunferência $C_1$ inscrita no triângulo $BEF$ é

A ideia central é que a reta paralela à diagonal recorta do quadrado um triângulo retângulo isósceles semelhante ao triângulo $ABC$. Uma vez identificado esse triângulo e medido seu cateto, o raio da inscrita sai da fórmula clássica do triângulo retângulo,
$$r=\frac{\text{cateto}+\text{cateto}-\text{hipotenusa}}{2}$$

Compreendendo a geometria: coloquemos o quadrado num sistema cartesiano, com
$$A=(0,0),\quad B=(10,0),\quad C=(10,10),\quad D=(0,10)$$
A diagonal $AC$ é a reta $y=x$, ou seja, $x-y=0$. Um ponto $E$ do lado $AB$ é da forma $E=(e,0)$, com $0\le e\le 10$, e a reta $r$, paralela a $AC$ por $E$, tem equação $y=x-e$, isto é, $x-y-e=0$.

Usando a distância entre as duas paralelas: a distância entre $x-y=0$ e $x-y-e=0$ vale
$$d=\frac{|e|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{e}{\sqrt{2}}$$
Impondo $d=5$:
$$e=5\sqrt{2}$$
Note que $5\sqrt{2}\approx 7{,}07$ está mesmo entre $0$ e $10$, de modo que $E$ pertence ao lado $AB$, como o enunciado exige.

Localizando o ponto F e medindo os catetos: o lado $BC$ é o segmento $x=10$, com $0\le y\le 10$. Substituindo $x=10$ em $y=x-e$:
$$F=\left(10,\;10-5\sqrt{2}\right)$$
Os dois catetos do triângulo $BEF$, que é retângulo em $B$ (pois $BE$ está sobre $AB$ e $BF$ sobre $BC$, lados perpendiculares do quadrado), medem
$$BE=10-5\sqrt{2}, \qquad BF=10-5\sqrt{2}$$
Ou seja, $BEF$ é retângulo isósceles — exatamente o esperado, já que ele é semelhante ao triângulo $ABC$. Chamemos $\ell=10-5\sqrt{2}=5(2-\sqrt{2})$ essa medida comum. A hipotenusa é então
$$EF=\ell\sqrt{2}$$

Aplicando a fórmula do raio inscrito: num triângulo retângulo de catetos $m$ e $n$ e hipotenusa $h$, o raio da circunferência inscrita é $r=\frac{m+n-h}{2}$. Logo
$$r=\frac{\ell+\ell-\ell\sqrt{2}}{2}=\frac{\ell\left(2-\sqrt{2}\right)}{2}$$
Substituindo $\ell=5(2-\sqrt{2})$:
$$r=\frac{5(2-\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{2}=\frac{5}{2}\left(2-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Numericamente, $r\approx 0{,}86$, valor compatível com um triângulo de catetos $\approx 2{,}93$. O raio pedido é $\frac{5}{2}(2-\sqrt{2})^{2}$.