Questão 16

Em um parque de diversões, uma plataforma horizontal gira em torno de um eixo vertical fixo com velocidade angular constante $\omega$. Sobre a plataforma, a uma distância $R = 2{,}0\ \mathrm{m}$ do eixo, encontra-se um pequeno bloco de massa $m$ em repouso em relação à plataforma. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a plataforma é $\mu_e = 0{,}40$. Um pêndulo simples, de comprimento $\ell = 1{,}0\ \mathrm{m}$, está pendurado em um suporte fixo à plataforma, também a uma distância $R$ do eixo e permanece em equilíbrio em relação à plataforma.

Considerando $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ e que $\omega$ é aumentada lentamente a partir do repouso, analise as seguintes afirmativas:

I. O bloco começa a deslizar quando $\omega = \sqrt{2}$ rad/s.

II. No referencial da plataforma, o pêndulo está em equilíbrio sob a ação do peso, da tração e da força centrífuga, fazendo um ângulo $\alpha$ com a vertical tal que $\tg\alpha = \omega^{2}R/g$.

III. No referencial do solo, a resultante entre a tração e o peso é não nula, dirigida horizontalmente para o eixo de rotação, fornecendo a força centrípeta da massa pendular.

IV. Quando $\omega = 1{,}0$ rad/s, o bloco ainda está em repouso em relação à plataforma, e o ângulo do pêndulo com a vertical é tal que $\tg\alpha = 0{,}2$.

Estão corretas apenas as afirmativas

Análise da afirmativa I: CORRETA
Para o bloco, quem faz o papel de resultante centrípeta é a força de atrito estático, que tem um valor máximo igual a $\mu_e\,m\,g$. O bloco fica na iminência de escorregar quando a força exigida iguala máxima força de atrito:
$$m\,\omega^{2}R = \mu_e\,m\,g \;\Longrightarrow\; \omega^{2} = \frac{\mu_e\,g}{R} = \frac{0{,}40\cdot 10}{2{,}0} = 2 \;\Longrightarrow\; \omega = \sqrt{2}\ \mathrm{rad/s}$$

Análise da afirmativa II: INCORRETA
No referencial girante, o pêndulo está mesmo parado sob peso, tração e força centrífuga . O suporte está a $2{,}0\ \mathrm{m}$ do eixo, mas a esfera pendular não. Ao se inclinar de $\alpha$ para fora, ela se afasta mais $\ell\,\sen\alpha$ do eixo. O raio da circunferência descrita pela massa é
$$r = R + \ell\,\sen\alpha$$
Decompondo a tração nas direções vertical e horizontal:
$$T\cos\alpha = mg \qquad\qquad T\,\sen\alpha = m\,\omega^{2}\,(R + \ell\,\sen\alpha)$$
Dividindo uma equação pela outra:
$$\tg\alpha = \frac{\omega^{2}\,(R + \ell\,\sen\alpha)}{g} \neq \frac{\omega^{2}R}{g}$$

Análise da afirmativa III: CORRETA
No referencial do solo, a esfera descreve uma trajetória circular com velocidade escalar constante, de modo que sua aceleração é puramente centrípeta: horizontal e apontada para o eixo. Como as únicas forças reais sobre ela são o peso e a tração, a soma dessas duas tem de ser exatamente $m\omega^{2}r$, horizontal e dirigida ao eixo.

Análise da afirmativa IV: INCORRETA
Com $\omega = 1{,}0\ \mathrm{rad/s} < \sqrt{2}\ \mathrm{rad/s}$, o bloco realmente ainda não desliza. Utilizando a relação encontrada na análise da afirmativa II:

Se $\tg\alpha = 0{,}2$, temos $\sen\alpha \approx 0{,}196$. Porém, ao substituir na relação, teríamos $\tg\alpha \approx 0{,}22$, o que não condiz com $\tg\alpha = 0{,}2$.