Questão 14

Duas esferas homogêneas, em contato entre si, repousam sobre um piso, e a maior também está em contato com um degrau, conforme ilustra a figura acima. A esfera menor tem massa $m$ e raio $R$, enquanto a maior tem raio $2R$ e está fixa. O coeficiente de atrito estático entre as esferas e entre a esfera menor e o piso é $\mu = \sqrt{2}/8$. Uma força $\vec{F}$, de intensidade aumentada gradativamente, é aplicada horizontalmente na esfera menor a uma altura $3R/2$. Assinale a alternativa que corresponde à máxima intensidade da força $\vec{F}$ em que a esfera menor ainda permaneça em repouso.

Para o equilíbrio da esfera (corpo extenso), devemos garantir que:
$$\sum \vec{F} = \vec{0} \qquad\qquad \sum \vec{M}_{O} = \vec{0}$$

Antes de qualquer conta é preciso decidir como a esfera menor pode começar a se mover.
Ela está encunhada entre o piso e a esfera maior, que é fixa: empurrada para a direita, ela não tem para onde transladar, pois a esfera grande barra o caminho. Resta um único movimento possível — girar em torno do próprio centro, escorregando ao mesmo tempo nos dois contatos. É por isso que, na iminência do movimento, os dois atritos estão no valor máximo, $f = \mu N$, e o problema deixa de ser estaticamente indeterminado.

Para a geometria apresentada pelas esferas, vemos que os centros distam $R + 2R = 3R$ e a diferença de alturas entre eles é $2R - R = R$. Pelo teorema de Pitágoras, a distância horizontal entre os centros vale
$$\sqrt{(3R)^{2} - R^{2}} = 2\sqrt{2}\,R$$
Logo a linha que une os centros faz com a horizontal um ângulo $\theta$ tal que
$$\cos\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \qquad\qquad \sen\theta = \frac{1}{3}$$
A normal $N_2$ da esfera grande age sobre a menor ao longo dessa linha, apontando para fora da esfera grande; a força de atrito $f_2$ age perpendicularmente a ela.

Note que a força $\vec F$ é aplicada a $3R/2$ do piso, isto é, $R/2$ acima do centro, e aponta para a direita. Dessa forma, seu momento em relação ao centro tende, portanto, a girar a esfera no sentido horário. Girando assim, o ponto de contato com o piso escorrega para a esquerda e o ponto de contato com a esfera grande escorrega para baixo; as duas forças de atrito se opõem a esses escorregamentos e ambas produzem momento anti-horário — é exatamente o que segura a esfera.

Para a condição de equilíbrio rotacional da esfera menor, escolhemos o centro como polo justamente porque as duas normais e o peso passam por ele e somem da equação. Como qualquer força de atrito é tangente à superfície, seu braço em relação ao centro é o próprio raio $R$, e o braço de $\vec F$ é $R/2$:
$$F\cdot\frac{R}{2} = \mu N_{1}\cdot R + \mu N_{2}\cdot R \;\Longrightarrow\; F = 2\mu\,(N_{1}+N_{2})$$

Fazendo o equilíbrio translacional na vertical, projetando $N_2$ e $f_2$ no eixo vertical:
$$N_{1} - mg - N_{2}\sen\theta + \mu N_{2}\cos\theta = 0$$
$$N_{1} = mg + \frac{N_{2}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\,N_{2} = mg + \frac{N_{2}}{3} - \frac{N_{2}}{6} = mg + \frac{N_{2}}{6}$$

Para o equilíbrio translacional na horizontal, agora projetando as mesmas forças no eixo horizontal, vem:
$$F + \mu N_{1} - N_{2}\cos\theta - \mu N_{2}\sen\theta = 0$$
$$F = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,N_{2} + \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot\frac{1}{3}\,N_{2} - \frac{\sqrt{2}}{8}\,N_{1} = \frac{17\sqrt{2}}{24}\,N_{2} - \frac{\sqrt{2}}{8}\,N_{1}$$

Resolvendo as equações provenientes dos momentos: $F = 2\mu(N_1+N_2) = \frac{\sqrt{2}}{4}(N_{1}+N_{2})$. Igualando e dividindo tudo por $\sqrt{2}$,
$$\frac{N_{1}+N_{2}}{4} = \frac{17}{24}N_{2} - \frac{N_{1}}{8} \;\Longrightarrow\; \frac{3}{8}N_{1} = \frac{11}{24}N_{2} \;\Longrightarrow\; N_{1} = \frac{11}{9}N_{2}$$

Levando essa relação na equação da vertical:
$$\frac{11}{9}N_{2} - \frac{N_{2}}{6} = mg \;\Longrightarrow\; \frac{19}{18}N_{2} = mg \;\Longrightarrow\; N_{2} = \frac{18}{19}mg \qquad\text{e}\qquad N_{1} = \frac{22}{19}mg$$

Finalmente, econtramos o valor máximo da força aplicada:
$$F = \frac{\sqrt{2}}{4}\left(\frac{22}{19}mg + \frac{18}{19}mg\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{40}{19}mg = 10\,\frac{\sqrt{2}}{19}\,mg$$