Questão 7

Determine todos os números $x\in\mathbb{R}$ que satisfazem a equação
$$\frac{\sen^{2}(x)}{1-\cos(x)}\cdot\tg\left(\frac{x}{2}\right)=1-\sen(x)-\cos(x).$$

Analisando a condição de existência:
$$1-\cos x\neq 0 \quad\text{e}\quad \cos(\frac{x}{2})\neq 0$$
Logo, $x\neq k \pi, k\in \Z$.

Pela relação fundamental, $\sen^{2}x=1-\cos^{2}x$, e essa diferença de quadrados fatora:
$$\frac{\sen^{2}x}{1-\cos x}=\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1-\cos x}=1+\cos x$$

Simplificando a tangente do arco metade:
$$\tg\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sen x}{1+\cos x}$$

Juntando as duas simplificações: o produto do lado esquerdo vira
$$(1+\cos x)\cdot\frac{\sen x}{1+\cos x}=\sen x$$

Como o gabarito vem escrito em termos de $\arctg$, a substituição natural é $t=\tg\frac{x}{2}$, para a qual
$$\sen x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$
Substituindo,
$$\frac{4t}{1+t^{2}}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=1$$
Multiplicando por $1+t^{2}$, que nunca se anula,
$$4t+1-t^{2}=1+t^{2}$$
$$2t^{2}-4t=0 \;\Longrightarrow\; 2t(t-2)=0$$
$$t=0 \quad\text{ou}\quad t=2$$

A raiz $t=0$ corresponde a $\tg\frac{x}{2}=0$, ou seja, $x=2k\pi$; nesse caso $\cos x=1$ e o denominador $1-\cos x$ se anula, logo não convém. Portanto:
$$\tg\left(\frac{x}{2}\right)=2 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{2}=\arctg(2)+k\pi \;\Longrightarrow\; x=2\arctg(2)+2k\pi$$