Questão 6

Sejam $m,n\in\mathbb{N}$, $z=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)^{m}$ e $w=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{6}}{2}i\right)^{n}$. Sabendo que $|z|=\dfrac{81}{256}$ e $|w|=16$, então um argumento de $zw$ é igual a

Escrevendo cada base como $\rho(\cos\theta+i\,\sen \theta)$, a potência de expoente natural eleva o módulo e multiplica o argumento,
$$\left[\rho(\cos\theta+i\,\sen \theta)\right]^{k}=\rho^{k}\left(\cos k\theta+i\,\sen k\theta\right)$$
Os módulos dados servem justamente para descobrir os expoentes $m$ e $n$, que o enunciado não fornece; só depois calculamos os argumentos.

Determinando o expoente m pelo módulo: a base de $z$ tem módulo
$$\left|\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\right|=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{3}{16}}=\sqrt{\frac{12}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Logo
$$|z|=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{m}=\frac{3^{m/2}}{2^{m}}$$
Comparando com $\dfrac{81}{256}=\dfrac{3^{4}}{2^{8}}$, os expoentes de $2$ dão $m=8$, e os de $3$ dão $m/2=4$, isto é, $m=8$ também. As duas leituras concordam:
$$m=8$$

Determinando o expoente n pelo módulo: a base de $w$ tem módulo
$$\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i\right|=\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{2}$$
Então
$$|w|=\left(\sqrt{2}\right)^{n}=2^{n/2}=16=2^{4}\;\Longrightarrow\; n=8$$

Determinando o argumento da primeira base: dividindo cada coordenada pelo módulo $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$$\cos\theta_1=\frac{3/4}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sen \theta_1=\frac{\sqrt{3}/4}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{2}$$
Ambas as coordenadas são positivas, logo o afixo está no primeiro quadrante e
$$\theta_1=\frac{\pi}{6} \quad\Longrightarrow\quad \arg z = 8\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}$$
onde já reduzimos $\frac{8\pi}{6}$ à fração equivalente.

Determinando o argumento da segunda base: dividindo pelo módulo $\sqrt{2}$,
$$\cos\theta_2=\frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2},\qquad \sen \theta_2=\frac{\sqrt{6}/2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Cosseno negativo e seno positivo colocam o afixo no segundo quadrante, de modo que
$$\theta_2=\frac{2\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad \arg w = 8\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{16\pi}{3}$$

Somando os argumentos: o argumento de um produto é a soma dos argumentos, a menos de múltiplos de $2\pi$:
$$\arg(zw)=\frac{4\pi}{3}+\frac{16\pi}{3}=\frac{20\pi}{3}$$
Reduzindo ao intervalo $[0,2\pi)$, subtraímos $3$ voltas completas, ou seja, $6\pi=\frac{18\pi}{3}$:
$$\arg(zw)=\frac{20\pi}{3}-\frac{18\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$$

Um argumento de $zw$ é, portanto, $\frac{2\pi}{3}$.