Questão 25

Considere o determinado experimento hipotético apresentado a seguir:

Esse sistema é resfriado de $90\ ^\circ\mathrm{C}$ a $10\ ^\circ\mathrm{C}$. Suponha que o volume da fase aquosa (água $+$ X) permaneça constante e igual a $150\ \mathrm{mL}$, que a massa de água nessa fase seja de $100\ \mathrm{g}$ e que tal massa também permaneça constante. Considere que as densidades das duas fases apresentam um comportamento linear nesse intervalo de temperatura. Assinale a alternativa que corresponde à temperatura em que ocorre a inversão de ordem das fases presentes no sistema.

Dados: densidade $(\rho)$ do óleo a $90\ ^\circ\mathrm{C} = 0{,}6\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$; densidade $(\rho)$ do óleo a $10\ ^\circ\mathrm{C} = 1{,}4\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$; solubilidade $(S)$ de X a $90\ ^\circ\mathrm{C} = 200\ \mathrm{g}/100\ \mathrm{g}$ $\ce{H2O}$; solubilidade $(S)$ de X a $10\ ^\circ\mathrm{C} = 80\ \mathrm{g}/100\ \mathrm{g}$ $\ce{H2O}$.

A inversão irá ocorrer quando as densidades se igualam. Precisamos então escrever cada densidade como função da temperatura e cruzar as duas retas.

Densidade do óleo em função da temperatura: a banca dá dois pontos e garante o comportamento linear. O coeficiente angular vale
$$\frac{\Delta\rho}{\Delta\theta} = \frac{0{,}6 - 1{,}4}{363 - 283} = -0{,}01\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}/ K}$$
Tomando o ponto a $283 K$ como referência,
$$\rho_{\text{óleo}} = 1{,}4 - 0{,}01\,(\theta - 283)$$
O óleo expande ao ser aquecido de forma muito mais pronunciada que a fase aquosa, e por isso a $90\ ^\circ\mathrm{C}$ ele é o líquido menos denso.

O volume da fase é fixo em $150\ \mathrm{mL}$ e a massa de água é fixa em $100\ \mathrm{g}$; o único termo variável da massa é o sal X dissolvido que é ditado pela curva de solubilidade.

A $90\ ^\circ\mathrm{C}$, dissolvem-se $200\ \mathrm{g}$ de X em $100\ \mathrm{g}$ de água:
$$m = 100 + 200 = 300\ \mathrm{g} \qquad \rho = \frac{300}{150} = 2{,}0\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$$

A $10\ ^\circ\mathrm{C}$, a solubilidade cai para $80\ \mathrm{g}$ de X em $100\ \mathrm{g}$ de água. O excedente precipita e passa a compor o sólido depositado no fundo, que não pertence à fase aquosa:
$$m = 100 + 80 = 180\ \mathrm{g} \qquad \rho = \frac{180}{150} = 1{,}2\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}}$$

Calculando a densidade da fase aquosa em função da temperatura:
$$\frac{\Delta\rho}{\Delta\theta} = \frac{2{,}0 - 1{,}2}{363 - 283} = +0{,}01\ \mathrm{g\cdot mL^{-1}/K}$$
$$\rho_{\text{aq}} = 1{,}2 + 0{,}01\,(\theta - 283)$$

Calculando a temperatura em que as duas retas se cruzam, ou seja, quando as densidades coincidem,
$$1{,}4 - 0{,}01\,(\theta - 283) = 1{,}2 + 0{,}01\,(\theta - 283)$$ $$0{,}2 = 0{,}02\,(\theta - 283) \qquad\Longrightarrow\qquad \theta - 283 = 10$$ $$\theta = 293\ \mathrm{K}=20^\circ\mathrm{C}$$