Questão 23

Duas pequenas esferas metálicas puntiformes idênticas, cada uma de massa $m$ e carga elétrica positiva $Q$, estão presas às extremidades de duas barras isolantes finas de mesmo comprimento $\ell$ e massas desprezíveis, fixadas em um mesmo ponto. As esferas podem mover-se em um mesmo plano vertical fixo. O sistema é colocado em uma região onde atua um campo elétrico uniforme vertical $\vec{E} = -E\hat{y}$, como mostra a figura.

Inicialmente, as esferas são mantidas em repouso em uma configuração simétrica tal que o ângulo entre os fios é $\beta$. Em seguida, elas são liberadas. Despreze a resistência do ar e assinale a alternativa que corresponde à expressão do campo elétrico $E$ para que, durante o movimento, o ângulo entre os fios atinja um valor mínimo igual a $2\alpha$.

A energia mecânica do sistema, definida como a soma da energia cinética com as energias potenciais gravitacional, elétrica (do campo externo) e eletrostática (da repulsão entre as cargas), é constante.

Por simetria, a configuração inteira fica descrita por um único ângulo. Chamemos de $\theta$ o ângulo que cada barra faz com a vertical, de modo que o ângulo entre elas é $2\theta$. Quando esse ângulo atinge o mínimo, $\theta$ para de diminuir e volta a crescer: nesse instante as duas esferas têm velocidade nula.

Tomando o ponto de fixação como origem, cada esfera está a uma altura $-\ell\cos\theta$ e as duas distam entre si $2\ell\,\sen\theta$.
Energia gravitacional:
$U_g = -2\,m\,g\,\ell\cos\theta$;

Energia associada ao campo externo: a carga é positiva e $\vec{E}$ aponta para baixo, logo a força elétrica sobre cada esfera vale $QE$ para baixo, e sua energia potencial é
$U_E = -2\,Q\,E\,\ell\cos\theta$;

Energia associada à repulsão entre as cargas:
$U_{el} = \dfrac{kQ^{2}}{2\ell\,\sen\theta}$.

Note que a gravidade e o campo elétrico entram exatamente da mesma forma — basta trocar $mg$ por $mg + QE$, como se o sistema tivesse ganhado peso. Somando,
$$U(\theta) = -2\,(mg + QE)\,\ell\cos\theta + \frac{kQ^{2}}{2\ell\,\sen\theta}$$

Como a energia cinética é nula nos dois,
$$-2(mg+QE)\ell\cos\frac{\beta}{2} + \frac{kQ^{2}}{2\ell\,\sen(\beta/2)} = -2(mg+QE)\ell\cos\alpha + \frac{kQ^{2}}{2\ell\,\sen\alpha}$$

Agrupando de um lado os termos com $(mg+QE)$ e do outro os da repulsão,
$$2(mg+QE)\,\ell\left[\cos\alpha - \cos\frac{\beta}{2}\right] = \frac{kQ^{2}}{2\ell}\left[\frac{1}{\sen\alpha} - \frac{1}{\sen(\beta/2)}\right]$$

Dividindo por $2\ell\left[\cos\alpha-\cos(\beta/2)\right]$,
$$mg + QE = \frac{kQ^{2}}{4\ell^{2}}\cdot \frac{\dfrac{1}{\sen\alpha}-\dfrac{1}{\sen(\beta/2)}}{\cos\alpha-\cos(\beta/2)}$$
$$E = \frac{kQ}{4\ell^{2}}\cdot \frac{\dfrac{1}{\sen\alpha}-\dfrac{1}{\sen(\beta/2)}}{\cos\alpha-\cos(\beta/2)} - \frac{mg}{Q}$$