Questão 17

Na missão Artemis II, a espaçonave Orion realiza uma trajetória de ida à Lua. Em um modelo simplificado, após uma manobra de injeção translunar, a nave parte de uma órbita baixa em torno da Terra com velocidade $v_0$, dirigida exatamente ao longo da reta Terra–Lua. A distância entre os centros da Terra e da Lua é igual a $D$, e a massa da Lua é aproximadamente 81 vezes menor que a massa $M$ da Terra. Assuma o raio da Terra dado por $R$ e despreze tanto efeitos devido ao movimento da Terra e da Lua, bem como a altura orbital da nave antes da injeção translunar. Assinale a alternativa que corresponde ao valor de velocidade $v_0$ acima da qual a nave consegue chegar à Lua.

Para a nave conseguir chegar à Lua, ela deve conseguir chegar ao ponto, entre a Terra e a Lua, em que o campo gravitacional resultante é nulo. Antes dele, a força exercida pela Terra é maior que a da Lua, o que provoca a frenagem da nave. Depois dele, a Lua passa a atraí-la com força maior e o resto da viagem é espontâneo. Portanto, a condição crítica é chegar ao ponto neutro com velocidade nula: qualquer $v_0$ acima disso garante a chegada.

Encontrando o ponto de gravidade resultante nula:
Chamando de $x$ a distância desse ponto ao centro da Terra e lembrando que $M_{\text{L}} = M/81$,
$$\frac{GM}{x^{2}} = \frac{GM/81}{(D-x)^{2}} \;\Longrightarrow\; 81\,(D-x)^{2} = x^{2} \;\Longrightarrow\; 9(D-x) = x$$
$$x = \frac{9D}{10}$$

Escrevendo as energias:
Na saída da Terra:$$E_i = \frac{m v_0^{2}}{2} - \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{81\,(D-R)}$$
Na chegada ao ponto de gravidade resultante nula:
$$E_f = 0 - \frac{GMm}{9D/10} - \frac{GMm}{81\,(D/10)} = - \frac{10\,GMm}{9D} - \frac{10\,GMm}{81\,D}$$

Da conservação de energia mecânica:
$$\frac{mv_0^{2}}{2} = \frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{81(D-R)} - \frac{10\,GMm}{9D} - \frac{10\,GMm}{81D}$$