Questão 13

As interações fundamentais da natureza podem ser interpretadas como sendo mediadas pela troca de partículas. A interação eletromagnética, por exemplo, é mediada pelo fóton, a interação fraca pelos bósons $W^{\pm}$ e $Z^{0}$ e a interação forte por glúons. Dentro do núcleo, prótons e nêutrons interagem via interação forte que, de forma efetiva para esse tipo de sistema, é modelada pela troca de mésons. O píon (ou méson $\pi$) é uma partícula que foi experimentalmente identificada em 1947 por um grupo de pesquisadores do qual fazia parte o brasileiro César Lattes. Seja $m$ a massa de um certo méson cujo alcance característico da interação é $r$. Se essa massa está relacionada apenas com a constante de Planck reduzida $\hbar = h/(2\pi)$, com a velocidade da luz $c$ e com $r$, determine a expressão para $m$ dimensionalmente compatível com essas grandezas.

O princípio aqui é a homogeneidade dimensional: uma igualdade física só pode existir entre grandezas de mesma dimensão. Como o enunciado garante que $m$ depende apenas de $\hbar$, $c$ e $r$, a única forma possível de combinação é o produto de potências
$$m = k\,\hbar^{\,a}\,c^{\,b}\,r^{\,d}$$
com $k$ adimensional. Encontrar $a$, $b$ e $d$ é, portanto, resolver um sistema de três equações — uma para cada dimensão fundamental.

Escrevendo as dimensões de cada grandeza: lembramos que $\hbar$ tem dimensão de ação (energia $\times$ tempo) e que $c$ é uma velocidade,
$$[\hbar] = \mathsf{M}\,\mathsf{L}^{2}\,\mathsf{T}^{-1}, \qquad [c] = \mathsf{L}\,\mathsf{T}^{-1}, \qquad [r] = \mathsf{L}, \qquad [m] = \mathsf{M}$$

Substituindo na combinação proposta,
$$\mathsf{M} = \left(\mathsf{M}\,\mathsf{L}^{2}\,\mathsf{T}^{-1}\right)^{a} \left(\mathsf{L}\,\mathsf{T}^{-1}\right)^{b}\mathsf{L}^{d} = \mathsf{M}^{a}\,\mathsf{L}^{2a+b+d}\,\mathsf{T}^{-a-b}$$

Igualando os expoentes de cada dimensão: é o passo que transforma a física em álgebra elementar,
$$\mathsf{M}:\ a = 1 \qquad\qquad \mathsf{T}:\ -a-b = 0 \qquad\qquad \mathsf{L}:\ 2a+b+d = 0$$

Da segunda equação, $b = -a = -1$. Levando $a = 1$ e $b = -1$ na terceira,
$$2(1) + (-1) + d = 0 \;\Longrightarrow\; d = -1$$

Portanto, a única combinação dimensionalmente admissível é
$$m = k\,\frac{\hbar}{c\,r} \;\sim\; \frac{\hbar}{cr}$$