Questão 12

Considere um polinômio dado por $p(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx-21$, em que $a$, $b$ e $c$ são números reais. Sabe-se que $p(x)$ possui quatro raízes inteiras e que, para todo inteiro $n$ que não seja múltiplo de $5$, o valor de $p(n)$ é múltiplo de $5$. Determine o valor de $a^{2}+b^{2}+c^{2}$.

Fatorando a expressão:
$$p(x)=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4), \qquad r_1,r_2,r_3,r_4\in\mathbb{Z}$$

Fazendo $x=0$ na fatoração,
$$p(0)=r_1r_2r_3r_4=-21$$
Em particular, cada raiz divide $21$: os valores possíveis são $\pm 1$, $\pm 3$, $\pm 7$ e $\pm 21$.

Tome um inteiro $n$ não múltiplo de $5$. Por hipótese, $5$ divide
$$p(n)=(n-r_1)(n-r_2)(n-r_3)(n-r_4)$$
Como $5$ é primo, ele tem de dividir um dos quatro fatores, isto é, alguma raiz $r_i$ deixa o mesmo resto que $n$ na divisão por $5$. Isso vale simultaneamente para $n\equiv 1$, $n\equiv 2$, $n\equiv 3$ e $n\equiv 4$. São quatro restos a cobrir e exatamente quatro raízes disponíveis, de modo que a conclusão é rígida:

os restos das quatro raízes na divisão por $5$ são, em alguma ordem, exatamente $1$, $2$, $3$ e $4$ — cada um aparecendo uma única vez, e nenhuma raiz é múltipla de $5$. Por isso, podemos garantir que esse polinômio terá apenas raízes simples, o que reduz muito os possíveis casos.

Selecionando as raízes: o produto dos módulos das raízes é $|{-21}|=21$, e há apenas duas maneiras de escrever $21$ como produto de quatro inteiros positivos:
$$21=1\cdot 1\cdot 1\cdot 21 \qquad\text{ou}\qquad 21=1\cdot 1\cdot 3\cdot 7$$

No primeiro caso, as raízes seriam $\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 21$. Mas $1$ e $21$ deixam resto $1$, enquanto $-1$ e $-21$ deixam resto $4$: só conseguiríamos os restos $1$ e $4$, jamais $2$ e $3$. Esse caso está descartado.

No segundo caso, as raízes são $\pm 1$, $\pm 1$, $\pm 3$ e $\pm 7$. Como os dois números de módulo $1$ só podem gerar os restos $1$ ou $4$, e esses restos devem aparecer uma única vez cada, um deles é $+1$ e o outro é $-1$. Sobram as raízes de módulos $3$ e $7$, que precisam gerar os restos $2$ e $3$. Além disso, o produto total deve ser $-21$:
$$(+1)\cdot(-1)\cdot(\pm 3)\cdot(\pm 7)=-21 \;\Longrightarrow\; (\pm 3)\cdot(\pm 7)=21$$
ou seja, $3$ e $7$ entram com o mesmo sinal. Verificando os restos nas duas possibilidades: com $+3$ e $+7$ obtemos os restos $3$ e $2$; com $-3$ e $-7$ obtemos os restos $2$ e $3$. Ambas as escolhas satisfazem todas as exigências.

Aplicando as relações de Girard ao primeiro conjunto: com raízes $1$, $-1$, $3$ e $7$,
$$-a=1+(-1)+3+7=10 \;\Longrightarrow\; a=-10$$
$$b=(1)(-1)+(1)(3)+(1)(7)+(-1)(3)+(-1)(7)+(3)(7)=-1+3+7-3-7+21=20$$
$$-c=(1)(-1)(3)+(1)(-1)(7)+(1)(3)(7)+(-1)(3)(7)=-3-7+21-21=-10 \;\Longrightarrow\; c=10$$
E, de fato, $(1)(-1)(3)(7)=-21$, coerente com o termo independente.

Com as raízes $1$, $-1$, $-3$ e $-7$,
$$-a=1-1-3-7=-10 \;\Longrightarrow\; a=10$$
$$b=-1-3-7+3+7+21=20$$
$$-c=3+7+21-21=10 \;\Longrightarrow\; c=-10$$
Os dois conjuntos dão os mesmos valores absolutos, trocando apenas os sinais de $a$ e de $c$ — e como a expressão pedida só envolve quadrados, a ambiguidade não afeta a resposta.

Calculando a expressão pedida:
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(\pm 10)^{2}+20^{2}+(\pm 10)^{2}=100+400+100=600$$

O valor de $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ é $600$.