Questão 10

Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes reais tal que $p(1+i)=0$ e $p(1)=-1$. Sabendo que $p(p(x))-p(x^{3})$ é um polinômio de grau $8$, o valor de $p(-1)$ é

O caminho é descobrir $p$ por completo, e a única informação que fixa o grau é a condição sobre $p(p(x))-p(x^{3})$. O princípio é elementar: se $p$ tem grau $n$, então $p(p(x))$ tem grau $n^{2}$ e $p(x^{3})$ tem grau $3n$. Numa diferença, o grau só pode cair abaixo do máximo se os termos de maior grau se cancelarem — e isso exige que os dois graus sejam iguais.

Determinando o grau do polinômio: seja $n=\mathrm{gr}(p)$. Se $n^{2}\neq 3n$, o grau da diferença seria $\max\{n^{2},3n\}$, e teríamos de ter $n^{2}=8$ ou $3n=8$ — nenhum dos dois com solução inteira. Resta
$$n^{2}=3n \;\Longrightarrow\; n(n-3)=0 \;\Longrightarrow\; n=0 \text{ ou } n=3$$
O caso $n=0$ é impossível: um polinômio constante com $p(1+i)=0$ seria o polinômio nulo, contradizendo $p(1)=-1$. Logo
$$n=3$$

Determinando o coeficiente líder: escrevendo $p(x)=\alpha x^{3}+\dots$, o termo de grau $9$ de $p(p(x))$ vem de $\alpha\cdot(\alpha x^{3})^{3}=\alpha^{4}x^{9}$, enquanto o de $p(x^{3})$ é $\alpha x^{9}$. Para que a diferença caia de grau $9$ para grau $8$, esses termos têm de se cancelar:
$$\alpha^{4}=\alpha \;\Longrightarrow\; \alpha(\alpha^{3}-1)=0$$
Como $\alpha\neq 0$ e $\alpha$ é real, segue $\alpha=1$: o polinômio é mônico.

Usando a raiz complexa: como os coeficientes são reais, as raízes não reais aparecem aos pares conjugados. De $p(1+i)=0$ vem $p(1-i)=0$, e o produto dos dois fatores correspondentes é
$$\big(x-(1+i)\big)\big(x-(1-i)\big)=x^{2}-2x+2$$
Sobra uma única raiz real, que chamaremos de $r$, e portanto
$$p(x)=(x^{2}-2x+2)(x-r)$$

Determinando a raiz real pelo valor em 1: avaliando em $x=1$,
$$p(1)=(1-2+2)(1-r)=1\cdot(1-r)=1-r$$
Impondo $p(1)=-1$:
$$1-r=-1 \;\Longrightarrow\; r=2$$
Assim
$$p(x)=(x^{2}-2x+2)(x-2)=x^{3}-4x^{2}+6x-4$$

Conferindo a condição de grau 8: o termo de grau $9$ já foi cancelado por construção; precisamos garantir que o de grau $8$ não se anule também. Em $p(p(x))$, o único termo de grau $8$ nasce do cubo $\big(x^{3}-4x^{2}+\dots\big)^{3}$, cujo coeficiente de $x^{8}$ é $3\cdot 1^{2}\cdot(-4)=-12$; já $p(x^{3})=x^{9}-4x^{6}+6x^{3}-4$ não tem termo de grau $8$. Logo o coeficiente de $x^{8}$ da diferença é $-12\neq 0$, e o grau é mesmo $8$, como o enunciado afirma.

Calculando o valor pedido: basta substituir $x=-1$ na forma fatorada, que é a mais econômica:
$$p(-1)=\big((-1)^{2}-2(-1)+2\big)\big(-1-2\big)=(1+2+2)\cdot(-3)=5\cdot(-3)=-15$$

O valor de $p(-1)$ é $-15$.