Questão 9

Considere uma pirâmide reta cuja base é um hexágono regular de lado $4$. As faces laterais dessa pirâmide são triângulos isósceles cujo ângulo do vértice superior é $\dfrac{\pi}{6}$. Traça-se uma seção plana na pirâmide de modo que essa seção passa pela diagonal maior da base e é paralela a uma das faces laterais. Calcule a área dessa seção.

Sejam $ABCDEF$ a base, $O$ o seu centro e $V$ o vértice da pirâmide. A diagonal maior $\overline{AD}$ passa por $O$ e mede $AD = 2\cdot 4 = 8$. No hexágono regular, $\overline{BC}$ e $\overline{EF}$ são paralelos a $\overline{AD}$.

O plano $\pi$ da seção contém $A$ e $D$. Um plano que passa por $A$ e é paralelo a uma face que contém $A$ coincide com essa face, que não contém $D$; o mesmo vale para as faces que contêm $D$. Logo a face lateral paralela a $\pi$ é $VBC$ ou $VEF$, que são simétricas em relação ao plano $VAD$. Toma-se $\pi \parallel (VBC)$.

Apótema da pirâmide: seja $M$ o ponto médio de $\overline{EF}$. Na face isósceles $VEF$, $\overline{VM}$ é a altura relativa à base (apótema da pirâmide, de medida $a$) e $\angle EVM = \dfrac{\pi}{12} = 15^\circ$. No triângulo retângulo $VME$, com $EM = 2$,
$$\tg 15^\circ = \frac{EM}{VM} = \frac{2}{a}$$

Como $\tg 15^\circ = \tg(45^\circ - 30^\circ) = \dfrac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \dfrac{(3-\sqrt{3})^2}{6} = 2 - \sqrt{3}$,
$$a = \frac{2}{2-\sqrt{3}} = 2\,(2+\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}$$

Posição da seção: seja $N$ o ponto médio de $\overline{BC}$. Os pontos $M$, $O$ e $N$ são colineares, $O$ é o ponto médio de $\overline{MN}$ e o plano $VMN$ é perpendicular a $\overline{BC}$, a $\overline{EF}$ e a $\overline{AD}$. O plano $VMN$ corta a face $VBC$ segundo $\overline{VN}$ e corta $\pi$ segundo uma reta por $O$; como $\pi \parallel (VBC)$, essas duas retas são paralelas. No triângulo $VMN$, a reta por $O$ (ponto médio de $\overline{MN}$) paralela a $\overline{VN}$ encontra $\overline{VM}$ em seu ponto médio $P$ (base média), com
$$OP = \frac{VN}{2} = \frac{a}{2} = 2 + \sqrt{3}$$

Vértices da seção: a reta $\overline{EF}$ é paralela a $\overline{AD} \subset \pi$ e não está em $\pi$, logo $\overline{EF} \parallel \pi$; assim a interseção de $\pi$ com a face $VEF$ é a reta por $P$ paralela a $\overline{EF}$, que é a base média $\overline{E'F'}$ do triângulo $VEF$, com $E'$ e $F'$ pontos médios de $\overline{VE}$ e $\overline{VF}$ e
$$E'F' = \frac{EF}{2} = 2$$

O plano $\pi$ corta então as faces $VAF$, $VEF$ e $VDE$ segundo $\overline{AF'}$, $\overline{F'E'}$ e $\overline{E'D}$, e toca as faces $VAB$, $VBC$ e $VCD$ apenas em $A$ e $D$ (a face $VBC$ é paralela a $\pi$, e as faces $VAB$ e $VCD$ ficam, exceto por $A$ e $D$, no semiespaço de $\pi$ oposto ao de $V$). A seção é o quadrilátero $AF'E'D$.

Área da seção: $\overline{AD} \parallel \overline{E'F'}$, logo $AF'E'D$ é um trapézio, isósceles pela simetria em relação ao plano $VMN$. Sua altura é a distância entre as retas $\overline{AD}$ e $\overline{E'F'}$, medida no plano $VMN$ (perpendicular a ambas): é o segmento $\overline{OP}$, pois $O \in \overline{AD}$ e $P \in \overline{E'F'}$. Portanto,
$$[AF'E'D] = \frac{(AD + E'F')\cdot OP}{2} = \frac{(8 + 2)\,(2+\sqrt{3})}{2} = 5\,(2 + \sqrt{3})$$

Resposta: $10 + 5\sqrt{3}$