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Brasão do ITAITA 2026/20272ª fase · Matemática10 de 10 questões publicadas
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Questão 7

Matemática. Teoria dos números — divisibilidade de polinômios.

Determine todos os valores inteiros nn tais que o quociente
2n3−5n2−52n+90n2−2n−27\frac{2n^3 - 5n^2 - 52n + 90}{n^2 - 2n - 27}
seja um número inteiro.

Resposta

n∈{−6,−4,6,8}n \in \{-6, -4, 6, 8\}

Resolução

Dividindo 2n3−5n2−52n+902n^3 - 5n^2 - 52n + 90 por n2−2n−27n^2 - 2n - 27,

2n3−5n2−52n+90n2−2n−27=2n−1+63n2−2n−27\frac{2n^3 - 5n^2 - 52n + 90}{n^2 - 2n - 27} = 2n - 1 + \frac{63}{n^2 - 2n - 27}

Condição de divisibilidade: como 2n−12n - 1 é inteiro, o quociente é inteiro se, e somente se, d=n2−2n−27d = n^2 - 2n - 27 divide 6363. O divisor nunca se anula, pois n2−2n−27=0n^2 - 2n - 27 = 0 tem discriminante 4+108=1124 + 108 = 112, que não é quadrado perfeito, e portanto não tem raiz inteira.

Completando o quadrado:
d=n2−2n−27=(n−1)2−28⇒(n−1)2=28+dd = n^2 - 2n - 27 = (n-1)^2 - 28 \quad\Rightarrow\quad (n-1)^2 = 28 + d
Os divisores inteiros de 6363 são ±1\pm 1, ±3\pm 3, ±7\pm 7, ±9\pm 9, ±21\pm 21 e ±63\pm 63; para cada um, (n−1)2=28+d(n-1)^2 = 28 + d precisa ser um quadrado perfeito:

d=1d = 1: 2929; d=−1d = -1: 2727; d=3d = 3: 3131; d=−3d = -3: 25=5225 = 5^2;

d=7d = 7: 3535; d=−7d = -7: 2121; d=9d = 9: 3737; d=−9d = -9: 1919;

d=21d = 21: 49=7249 = 7^2; d=−21d = -21: 77; d=63d = 63: 9191; d=−63d = -63: −35-35.

Só d=−3d = -3 e d=21d = 21 servem.

Para d=−3d = -3: (n−1)2=25(n-1)^2 = 25, logo n−1=±5n - 1 = \pm 5 e n=6n = 6 ou n=−4n = -4. O quociente vale 2n−1−212n - 1 - 21, isto é, −10-10 e −30-30.

Para d=21d = 21: (n−1)2=49(n-1)^2 = 49, logo n−1=±7n - 1 = \pm 7 e n=8n = 8 ou n=−6n = -6. O quociente vale 2n−1+32n - 1 + 3, isto é, 1818 e −10-10.

Resposta: n∈{−6,−4,6,8}n \in \{-6, -4, 6, 8\}